Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 34
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= 4x^2-8x \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= 4x^2-8x=4x(x-2)\\ f'\left(x\right)= 8x-8\\ f''\left(x\right)= 8\\ F(x)=\int_{}^{}( 4x^2-8x)dx= 1\frac{1}{3}x^3-4x^2+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-4),\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2( 4-\dfrac{8}{x}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[4\cdot \infty^2]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[4\cdot (-\infty)^2]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=4\cdot (-x)^{2}-8\cdot (-x) \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= 4x^2-8x = 0 \\ x( 4x-8)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 4x-8=0\\ 4 x-8 =0 \qquad /+8 \\ 4 x= 8 \qquad /:4 \\ x=\displaystyle\frac{8}{4}\\ x=2 \\ \underline{x_1=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&2&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;2[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 8x-8 = 0 \\ \\ 8 x-8 =0 \qquad /+8 \\ 8 x= 8 \qquad /:8 \\ x=\displaystyle\frac{8}{8}\\ x=1 \\ \underline{x_3=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(1)=8>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (1/-4)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &1&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;1[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{0}^{2}\left( 4x^2-8x\right)dx=\left[ 1\frac{1}{3}x^3-4x^2\right]_{0}^{2} \\ =\left(1\frac{1}{3}\cdot 2^{3}-4\cdot 2^{2}\right)-\left(1\frac{1}{3}\cdot 0^{3}-4\cdot 0^{2}\right) \\ =\left(-5\frac{1}{3}\right)-\left(0\right)=-5\frac{1}{3} \\ \\ $