Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 50
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-\frac{27}{55}x^3-\frac{54}{55}x^2+5\frac{2}{5}x+5\frac{49}{55} \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-\frac{27}{55}x^3-\frac{54}{55}x^2+5\frac{2}{5}x+5\frac{49}{55}=-\frac{27}{55}(x+4)(x+1)(x-3)\\ f'\left(x\right)=-1\frac{26}{55}x^2-1\frac{53}{55}x+5\frac{2}{5}=-1\frac{26}{55}(x+2,69)(x-1,36)\\ f''\left(x\right)=-2\frac{52}{55}x-1\frac{53}{55}=-2\frac{52}{55}(x+\frac{2}{3})\\ f'''\left(x\right)=-2\frac{52}{55} \\ F(x)=\int_{}^{}(-\frac{27}{55}x^3-\frac{54}{55}x^2+5\frac{2}{5}x+5\frac{49}{55})dx=-0,123x^4-\frac{18}{55}x^3+2\frac{7}{10}x^2+5\frac{49}{55}x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3(-\frac{27}{55}-\dfrac{\frac{54}{55}}{x}+\dfrac{5\frac{2}{5}}{x^2}+\dfrac{5\frac{49}{55}}{x^3}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{27}{55}\cdot \infty^3]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{27}{55}\cdot (-\infty)^3]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-\frac{27}{55}\cdot (-x)^{3}-\frac{54}{55}\cdot (-x)^{2}+5\frac{2}{5}\cdot (-x)+5\frac{49}{55} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-\frac{27}{55}x^3-\frac{54}{55}x^2+5\frac{2}{5}x+5\frac{49}{55} = 0 \\ \\-\frac{27}{55}x^3-\frac{54}{55}x^2+5\frac{2}{5}x+5\frac{49}{55}=0 \\\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_1=-4; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-4&< x <&-1&< x <&3&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-4[\quad \cup \quad]-1;3[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-4;-1[\quad \cup \quad]3;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-1\frac{26}{55}x^2-1\frac{53}{55}x+5\frac{2}{5} = 0 \\ \\ \\ -1\frac{26}{55}x^{2}-1\frac{53}{55}x+5\frac{2}{5} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+1\frac{53}{55} \pm\sqrt{\left(-1\frac{53}{55}\right)^{2}-4\cdot \left(-1\frac{26}{55}\right) \cdot 5\frac{2}{5}}}{2\cdot\left(-1\frac{26}{55}\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+1\frac{53}{55} \pm\sqrt{35,7}}{-2\frac{52}{55}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{1\frac{53}{55} \pm5,97}{-2\frac{52}{55}} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{1\frac{53}{55} +5,97}{-2\frac{52}{55}} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{1\frac{53}{55} -5,97}{-2\frac{52}{55}} \\ x_{1}=-2,69 \qquad x_{2}=1,36 \\ \underline{x_4=-2,69; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=1,36; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-2,69)=5,97>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-2,69/-6,18)} \\ f''(1,36)=-5,97 \\ f''(1,36)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (1,36/10,2)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2,69&< x <&1,36&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2,69;1,36[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2,69[\quad \cup \quad]1,36;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)=-2\frac{52}{55}x-1\frac{53}{55} = 0 \\ \\ -2\frac{52}{55} x-1\frac{53}{55} =0 \qquad /+1\frac{53}{55} \\ -2\frac{52}{55} x= 1\frac{53}{55} \qquad /:\left(-2\frac{52}{55}\right) \\ x=\displaystyle\frac{1\frac{53}{55}}{-2\frac{52}{55}}\\ x=-\frac{2}{3} \\ \underline{x_6=-\frac{2}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-\frac{2}{3})=2\\ f'''(-\frac{2}{3}) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-\frac{2}{3}/2)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-\frac{2}{3}&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-\frac{2}{3}[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\frac{2}{3};\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-4}^{-1}\left(-\frac{27}{55}x^3-\frac{54}{55}x^2+5\frac{2}{5}x+5\frac{49}{55}\right)dx=\left[-0,123x^4-\frac{18}{55}x^3+2\frac{7}{10}x^2+5\frac{49}{55}x\right]_{-4}^{-1} \\ =\left(-0,123\cdot (-1)^{4}-\frac{18}{55}\cdot (-1)^{3}+2\frac{7}{10}\cdot (-1)^{2}+5\frac{49}{55}\cdot (-1)\right)-\left(-0,123\cdot (-4)^{4}-\frac{18}{55}\cdot (-4)^{3}+2\frac{7}{10}\cdot (-4)^{2}+5\frac{49}{55}\cdot (-4)\right) \\ =\left(-2,99\right)-\left(9\frac{9}{55}\right)=-12\frac{3}{20} \\ A=\int_{-1}^{3}\left(-\frac{27}{55}x^3-\frac{54}{55}x^2+5\frac{2}{5}x+5\frac{49}{55}\right)dx=\left[-0,123x^4-\frac{18}{55}x^3+2\frac{7}{10}x^2+5\frac{49}{55}x\right]_{-1}^{3} \\ =\left(-0,123\cdot 3^{4}-\frac{18}{55}\cdot 3^{3}+2\frac{7}{10}\cdot 3^{2}+5\frac{49}{55}\cdot 3\right)-\left(-0,123\cdot (-1)^{4}-\frac{18}{55}\cdot (-1)^{3}+2\frac{7}{10}\cdot (-1)^{2}+5\frac{49}{55}\cdot (-1)\right) \\ =\left(23,2\right)-\left(-2,99\right)=26\frac{2}{11} \\ \\ $