Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 46
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-1x^3+3x^2-4 \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-1x^3+3x^2-4=-1(x+1)(x-2)^2\\ f'\left(x\right)=-3x^2+6x=-3x(x-2)\\ f''\left(x\right)=-6x+6=-6(x-1)\\ f'''\left(x\right)=-6 \\ F(x)=\int_{}^{}(-1x^3+3x^2-4)dx=-\frac{1}{4}x^4+x^3-4x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3(-1+\dfrac{3}{x}-\dfrac{4}{x^3}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-1\cdot \infty^3]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-1\cdot (-\infty)^3]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-1\cdot (-x)^{3}+3\cdot (-x)^{2}-4 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-1x^3+3x^2-4 = 0 \\ \\-1x^3+3x^2-4=0 \\\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}-1\\ \,\small \begin{matrix} (-1x^3&+3x^2&&-4&):( x +1 )=-1x^2 +4x -4 \\ \,-(-1x^3&-1x^2) \\ \hline & 4x^2&&-4&\\ &-( 4x^2&+4x) \\ \hline &&-4x&-4&\\ &&-(-4x&-4) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ -1x^{2}+4x-4 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-4 \pm\sqrt{4^{2}-4\cdot \left(-1\right) \cdot \left(-4\right)}}{2\cdot\left(-1\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm\sqrt{0}}{-2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm0}{-2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-4 +0}{-2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-4 -0}{-2} \\ x_{1}=2 \qquad x_{2}=2 \\ \underline{x_1=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=2; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&2&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;2[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-3x^2+6x = 0 \\ x(-3x+6)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-3x+6=0\\ -3 x+6 =0 \qquad /-6 \\ -3 x= -6 \qquad /:\left(-3\right) \\ x=\displaystyle\frac{-6}{-3}\\ x=2 \\ \underline{x_3=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=6>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (0/-4)} \\ f''(2)=-6 \\ f''(2)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (2/0)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&2&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;2[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)=-6x+6 = 0 \\ \\ -6 x+6 =0 \qquad /-6 \\ -6 x= -6 \qquad /:\left(-6\right) \\ x=\displaystyle\frac{-6}{-6}\\ x=1 \\ \underline{x_5=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(1)=-2\\ f'''(1) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (1/-2)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &1&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;1[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-1}^{2}\left(-1x^3+3x^2-4\right)dx=\left[-\frac{1}{4}x^4+x^3-4x\right]_{-1}^{2} \\ =\left(-\frac{1}{4}\cdot 2^{4}+1\cdot 2^{3}-4\cdot 2\right)-\left(-\frac{1}{4}\cdot (-1)^{4}+1\cdot (-1)^{3}-4\cdot (-1)\right) \\ =\left(-4\right)-\left(2\frac{3}{4}\right)=-6\frac{3}{4} \\ \\ $