Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 42
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= \frac{1}{2}x^3+4 \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= \frac{1}{2}x^3+4=\frac{1}{2}(x^2-2x+4)(x+2)\\ f'\left(x\right)= 1\frac{1}{2}x^2\\ f''\left(x\right)= 3x\\ f'''\left(x\right)= 3 \\ F(x)=\int_{}^{}( \frac{1}{2}x^3+4)dx= \frac{1}{8}x^4+4x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3( \frac{1}{2}+\dfrac{4}{x^3}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{2}\cdot \infty^3]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{2}\cdot (-\infty)^3]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=\frac{1}{2}\cdot (-x)^{3}+4 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= \frac{1}{2}x^3+4 = 0 \\ \\ \frac{1}{2}x^3+4=0 \\ \frac{1}{2}x^3+4 =0 \qquad /-4 \\ \frac{1}{2}x^3= -4 \qquad /:\frac{1}{2} \\ x^3=\displaystyle\frac{-4}{\frac{1}{2}} \\ x=\sqrt[3]{-8} \\ x=-2 \\ \text{Polynomdivision:}(-2)\\ \small \begin{matrix} ( \frac{1}{2}x^3&&&+4&):( x +2 )= \frac{1}{2}x^2 -1x +2 \\ \,-( \frac{1}{2}x^3&+x^2) \\ \hline &-1x^2&&+4&\\ &-(-1x^2&-2x) \\ \hline && 2x&+4&\\ &&-( 2x&+4) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \frac{1}{2}x^{2}-1x+2 =0\\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+1 \pm\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2}}{2\cdot\frac{1}{2}}\\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+1 \pm\sqrt{-3}}{1}\\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \\ \underline{x_1=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x\\ \hline f(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 1\frac{1}{2}x^2 = 0 \\ x^2=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_2=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=4 \\ f''(0)=0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Terrassenpukt:} (0/4)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x\\ \hline f'(x)&+&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 3x = 0 \\ x=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_3=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(0)=4\\ f'''(0) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (0/4)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\\text{keine Fläche} \\ \\ $