Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 27
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= \frac{20}{49}x^2+3\frac{33}{49}x+3\frac{13}{49} \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= \frac{20}{49}x^2+3\frac{33}{49}x+3\frac{13}{49}=\frac{20}{49}(x+8)(x+1)\\ f'\left(x\right)= \frac{40}{49}x+3\frac{33}{49}\\ f''\left(x\right)= \frac{40}{49}\\ F(x)=\int_{}^{}( \frac{20}{49}x^2+3\frac{33}{49}x+3\frac{13}{49})dx= 0,136x^3+1\frac{41}{49}x^2+3\frac{13}{49}x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-5),\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2( \frac{20}{49}+\dfrac{3\frac{33}{49}}{x}+\dfrac{3\frac{13}{49}}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[\frac{20}{49}\cdot \infty^2]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[\frac{20}{49}\cdot (-\infty)^2]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=\frac{20}{49}\cdot (-x)^{2}+3\frac{33}{49}\cdot (-x)+3\frac{13}{49} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= \frac{20}{49}x^2+3\frac{33}{49}x+3\frac{13}{49} = 0 \\ \\ \\ \frac{20}{49}x^{2}+3\frac{33}{49}x+3\frac{13}{49} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-3\frac{33}{49} \pm\sqrt{\left(3\frac{33}{49}\right)^{2}-4\cdot \frac{20}{49} \cdot 3\frac{13}{49}}}{2\cdot\frac{20}{49}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-3\frac{33}{49} \pm\sqrt{8\frac{8}{49}}}{\frac{40}{49}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-3\frac{33}{49} \pm2\frac{6}{7}}{\frac{40}{49}} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-3\frac{33}{49} +2\frac{6}{7}}{\frac{40}{49}} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-3\frac{33}{49} -2\frac{6}{7}}{\frac{40}{49}} \\ x_{1}=-1 \qquad x_{2}=-8 \\ \underline{x_1=-8; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-8&< x <&-1&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-8[\quad \cup \quad]-1;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-8;-1[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= \frac{40}{49}x+3\frac{33}{49} = 0 \\ \\ \frac{40}{49} x+3\frac{33}{49} =0 \qquad /-3\frac{33}{49} \\ \frac{40}{49} x= -3\frac{33}{49} \qquad /:\frac{40}{49} \\ x=\displaystyle\frac{-3\frac{33}{49}}{\frac{40}{49}}\\ x=-4\frac{1}{2} \\ \underline{x_3=-4\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-4\frac{1}{2})=\frac{40}{49}>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-4\frac{1}{2}/-5)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-4\frac{1}{2}&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-4\frac{1}{2};\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-4\frac{1}{2}[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-8}^{-1}\left( \frac{20}{49}x^2+3\frac{33}{49}x+3\frac{13}{49}\right)dx=\left[ 0,136x^3+1\frac{41}{49}x^2+3\frac{13}{49}x\right]_{-8}^{-1} \\ =\left(0,136\cdot (-1)^{3}+1\frac{41}{49}\cdot (-1)^{2}+3\frac{13}{49}\cdot (-1)\right)-\left(0,136\cdot (-8)^{3}+1\frac{41}{49}\cdot (-8)^{2}+3\frac{13}{49}\cdot (-8)\right) \\ =\left(-1,56\right)-\left(21,8\right)=-23\frac{1}{3} \\ \\ $