Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 29
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-2\frac{2}{9}x^2-2\frac{2}{9}x+4\frac{4}{9} \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-2\frac{2}{9}x^2-2\frac{2}{9}x+4\frac{4}{9}=-2\frac{2}{9}(x+2)(x-1)\\ f'\left(x\right)=-4\frac{4}{9}x-2\frac{2}{9}\\ f''\left(x\right)=-4\frac{4}{9}\\ F(x)=\int_{}^{}(-2\frac{2}{9}x^2-2\frac{2}{9}x+4\frac{4}{9})dx=-\frac{20}{27}x^3-1\frac{1}{9}x^2+4\frac{4}{9}x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty,5] \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2(-2\frac{2}{9}-\dfrac{2\frac{2}{9}}{x}+\dfrac{4\frac{4}{9}}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-2\frac{2}{9}\cdot \infty^2]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-2\frac{2}{9}\cdot (-\infty)^2]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-2\frac{2}{9}\cdot (-x)^{2}-2\frac{2}{9}\cdot (-x)+4\frac{4}{9} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-2\frac{2}{9}x^2-2\frac{2}{9}x+4\frac{4}{9} = 0 \\ \\ \\ -2\frac{2}{9}x^{2}-2\frac{2}{9}x+4\frac{4}{9} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+2\frac{2}{9} \pm\sqrt{\left(-2\frac{2}{9}\right)^{2}-4\cdot \left(-2\frac{2}{9}\right) \cdot 4\frac{4}{9}}}{2\cdot\left(-2\frac{2}{9}\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+2\frac{2}{9} \pm\sqrt{44\frac{4}{9}}}{-4\frac{4}{9}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{2\frac{2}{9} \pm6\frac{2}{3}}{-4\frac{4}{9}} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{2\frac{2}{9} +6\frac{2}{3}}{-4\frac{4}{9}} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{2\frac{2}{9} -6\frac{2}{3}}{-4\frac{4}{9}} \\ x_{1}=-2 \qquad x_{2}=1 \\ \underline{x_1=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&1&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;1[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]1;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-4\frac{4}{9}x-2\frac{2}{9} = 0 \\ \\ -4\frac{4}{9} x-2\frac{2}{9} =0 \qquad /+2\frac{2}{9} \\ -4\frac{4}{9} x= 2\frac{2}{9} \qquad /:\left(-4\frac{4}{9}\right) \\ x=\displaystyle\frac{2\frac{2}{9}}{-4\frac{4}{9}}\\ x=-\frac{1}{2} \\ \underline{x_3=-\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-\frac{1}{2})=-4\frac{4}{9} \\ f''(-\frac{1}{2})<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-\frac{1}{2}/5)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-\frac{1}{2}&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-\frac{1}{2}[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\frac{1}{2};\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-2}^{1}\left(-2\frac{2}{9}x^2-2\frac{2}{9}x+4\frac{4}{9}\right)dx=\left[-\frac{20}{27}x^3-1\frac{1}{9}x^2+4\frac{4}{9}x\right]_{-2}^{1} \\ =\left(-\frac{20}{27}\cdot 1^{3}-1\frac{1}{9}\cdot 1^{2}+4\frac{4}{9}\cdot 1\right)-\left(-\frac{20}{27}\cdot (-2)^{3}-1\frac{1}{9}\cdot (-2)^{2}+4\frac{4}{9}\cdot (-2)\right) \\ =\left(2\frac{16}{27}\right)-\left(-7\frac{11}{27}\right)=10 \\ \\ $