Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 40
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-\frac{1}{4}x^3+\frac{2}{3}x^2 \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-\frac{1}{4}x^3+\frac{2}{3}x^2=-\frac{1}{4}x^2(x-2\frac{2}{3})\\ f'\left(x\right)=-\frac{3}{4}x^2+1\frac{1}{3}x=-\frac{3}{4}x(x-1\frac{7}{9})\\ f''\left(x\right)=-1\frac{1}{2}x+1\frac{1}{3}=-1\frac{1}{2}(x-\frac{8}{9})\\ f'''\left(x\right)=-1\frac{1}{2} \\ F(x)=\int_{}^{}(-\frac{1}{4}x^3+\frac{2}{3}x^2)dx=-\frac{1}{16}x^4+\frac{2}{9}x^3+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3(-\frac{1}{4}+\dfrac{\frac{2}{3}}{x}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{1}{4}\cdot \infty^3]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{1}{4}\cdot (-\infty)^3]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-\frac{1}{4}\cdot (-x)^{3}+\frac{2}{3}\cdot (-x)^{2} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-\frac{1}{4}x^3+\frac{2}{3}x^2 = 0 \\ x^2(-\frac{1}{4}x+\frac{2}{3})=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-\frac{1}{4}x+\frac{2}{3}=0\\ -\frac{1}{4} x+\frac{2}{3} =0 \qquad /-\frac{2}{3} \\ -\frac{1}{4} x= -\frac{2}{3} \qquad /:\left(-\frac{1}{4}\right) \\ x=\displaystyle\frac{-\frac{2}{3}}{-\frac{1}{4}}\\ x=2\frac{2}{3} \\ \underline{x_1=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=2\frac{2}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&2\frac{2}{3}&< x\\ \hline f(x)&+&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0;2\frac{2}{3}[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]2\frac{2}{3};\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-\frac{3}{4}x^2+1\frac{1}{3}x = 0 \\ x(-\frac{3}{4}x+1\frac{1}{3})=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-\frac{3}{4}x+1\frac{1}{3}=0\\ -\frac{3}{4} x+1\frac{1}{3} =0 \qquad /-1\frac{1}{3} \\ -\frac{3}{4} x= -1\frac{1}{3} \qquad /:\left(-\frac{3}{4}\right) \\ x=\displaystyle\frac{-1\frac{1}{3}}{-\frac{3}{4}}\\ x=1\frac{7}{9} \\ \underline{x_3=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=1\frac{7}{9}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=1\frac{1}{3}>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (0/0)} \\ f''(1\frac{7}{9})=-1\frac{1}{3} \\ f''(1\frac{7}{9})<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (1\frac{7}{9}/0,702)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&1\frac{7}{9}&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;1\frac{7}{9}[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]1\frac{7}{9};\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)=-1\frac{1}{2}x+1\frac{1}{3} = 0 \\ \\ -1\frac{1}{2} x+1\frac{1}{3} =0 \qquad /-1\frac{1}{3} \\ -1\frac{1}{2} x= -1\frac{1}{3} \qquad /:\left(-1\frac{1}{2}\right) \\ x=\displaystyle\frac{-1\frac{1}{3}}{-1\frac{1}{2}}\\ x=\frac{8}{9} \\ \underline{x_5=\frac{8}{9}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(\frac{8}{9})=0,351\\ f'''(\frac{8}{9}) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (\frac{8}{9}/0,351)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &\frac{8}{9}&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;\frac{8}{9}[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]\frac{8}{9};\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{0}^{2\frac{2}{3}}\left(-\frac{1}{4}x^3+\frac{2}{3}x^2\right)dx=\left[-\frac{1}{16}x^4+\frac{2}{9}x^3\right]_{0}^{2\frac{2}{3}} \\ =\left(-\frac{1}{16}\cdot 2\frac{2}{3}^{4}+\frac{2}{9}\cdot 2\frac{2}{3}^{3}\right)-\left(-\frac{1}{16}\cdot 0^{4}+\frac{2}{9}\cdot 0^{3}\right) \\ =\left(1,05\right)-\left(0\right)=1,05 \\ \\ $