Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 11
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= x^2-4x+7 \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= x^2-4x+7\\ f'\left(x\right)= 2x-4\\ f''\left(x\right)= 2\\ F(x)=\int_{}^{}( x^2-4x+7)dx= \frac{1}{3}x^3-2x^2+7x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [3,\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2( 1-\dfrac{4}{x}+\dfrac{7}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot \infty^2]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot (-\infty)^2]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=1\cdot (-x)^{2}-4\cdot (-x)+7 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= x^2-4x+7 = 0 \\ \\ 1x^{2}-4x+7 =0\\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+4 \pm\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 7}}{2\cdot1}\\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+4 \pm\sqrt{-12}}{2}\\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\\text{kein Vorzeichenwechsel} \\\underline{ x \in \mathbb{R} \qquad f(x)>0\quad \text{oberhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 2x-4 = 0 \\ \\ 2 x-4 =0 \qquad /+4 \\ 2 x= 4 \qquad /:2 \\ x=\displaystyle\frac{4}{2}\\ x=2 \\ \underline{x_1=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(2)=2>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (2/3)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &2&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]2;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;2[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\\text{keine Fläche} \\ \\ $