Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 24
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-\frac{6}{25}x^2+1\frac{23}{25}x+2\frac{4}{25} \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-\frac{6}{25}x^2+1\frac{23}{25}x+2\frac{4}{25}=-\frac{6}{25}(x+1)(x-9)\\ f'\left(x\right)=-\frac{12}{25}x+1\frac{23}{25}\\ f''\left(x\right)=-\frac{12}{25}\\ F(x)=\int_{}^{}(-\frac{6}{25}x^2+1\frac{23}{25}x+2\frac{4}{25})dx=-\frac{2}{25}x^3+\frac{24}{25}x^2+2\frac{4}{25}x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty,6] \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2(-\frac{6}{25}+\dfrac{1\frac{23}{25}}{x}+\dfrac{2\frac{4}{25}}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{6}{25}\cdot \infty^2]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{6}{25}\cdot (-\infty)^2]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-\frac{6}{25}\cdot (-x)^{2}+1\frac{23}{25}\cdot (-x)+2\frac{4}{25} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-\frac{6}{25}x^2+1\frac{23}{25}x+2\frac{4}{25} = 0 \\ \\ \\ -\frac{6}{25}x^{2}+1\frac{23}{25}x+2\frac{4}{25} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-1\frac{23}{25} \pm\sqrt{\left(1\frac{23}{25}\right)^{2}-4\cdot \left(-\frac{6}{25}\right) \cdot 2\frac{4}{25}}}{2\cdot\left(-\frac{6}{25}\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-1\frac{23}{25} \pm\sqrt{5\frac{19}{25}}}{-\frac{12}{25}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-1\frac{23}{25} \pm2\frac{2}{5}}{-\frac{12}{25}} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-1\frac{23}{25} +2\frac{2}{5}}{-\frac{12}{25}} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-1\frac{23}{25} -2\frac{2}{5}}{-\frac{12}{25}} \\ x_{1}=-1 \qquad x_{2}=9 \\ \underline{x_1=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=9; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&9&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;9[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]9;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-\frac{12}{25}x+1\frac{23}{25} = 0 \\ \\ -\frac{12}{25} x+1\frac{23}{25} =0 \qquad /-1\frac{23}{25} \\ -\frac{12}{25} x= -1\frac{23}{25} \qquad /:\left(-\frac{12}{25}\right) \\ x=\displaystyle\frac{-1\frac{23}{25}}{-\frac{12}{25}}\\ x=4 \\ \underline{x_3=4; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(4)=-\frac{12}{25} \\ f''(4)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (4/6)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &4&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;4[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]4;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-1}^{9}\left(-\frac{6}{25}x^2+1\frac{23}{25}x+2\frac{4}{25}\right)dx=\left[-\frac{2}{25}x^3+\frac{24}{25}x^2+2\frac{4}{25}x\right]_{-1}^{9} \\ =\left(-\frac{2}{25}\cdot 9^{3}+\frac{24}{25}\cdot 9^{2}+2\frac{4}{25}\cdot 9\right)-\left(-\frac{2}{25}\cdot (-1)^{3}+\frac{24}{25}\cdot (-1)^{2}+2\frac{4}{25}\cdot (-1)\right) \\ =\left(38\frac{22}{25}\right)-\left(-1\frac{3}{25}\right)=40 \\ \\ $