Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 80
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= x^4-4x^3-16x-16 \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= x^4-4x^3-16x-16=(x+0,828)(x^2+4)(x-4,83)\\ f'\left(x\right)= 4x^3-12x^2-16=4(x^2+0,355x+1,19)(x-3,36)\\ f''\left(x\right)= 12x^2-24x=12x(x-2)\\ f'''\left(x\right)= 24x-24 \\ F(x)=\int_{}^{}( x^4-4x^3-16x-16)dx= \frac{1}{5}x^5-1x^4-8x^2-16x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-94),\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^4( 1-\dfrac{4}{x}-\dfrac{16}{x^3}-\dfrac{16}{x^4}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot \infty^4]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot (-\infty)^4]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=1\cdot (-x)^{4}-4\cdot (-x)^{3}-16\cdot (-x)-16 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= x^4-4x^3-16x-16 = 0 \\ \\ x^4-4x^3-16x-16\\ Numerische Suche: \\ \\ \underline{x_1=-0,828; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=4,83; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-0,828&< x <&4,83&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-0,828[\quad \cup \quad]4,83;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-0,828;4,83[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 4x^3-12x^2-16 = 0 \\ \\ 4x^3-12x^2-16=0 \\\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_3=3,36; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(3,36)=54,6>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (3,36/-94)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &3,36&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]3,36;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;3,36[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 12x^2-24x = 0 \\ x( 12x-24)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 12x-24=0\\ 12 x-24 =0 \qquad /+24 \\ 12 x= 24 \qquad /:12 \\ x=\displaystyle\frac{24}{12}\\ x=2 \\ \underline{x_4=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(0)=-16\\ f'''(0) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (0/-16)}\\ f'''(2)=-64\\ f'''(2) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (2/-64)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&2&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;2[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-0,828}^{4,83}\left( x^4-4x^3-16x-16\right)dx=\left[ \frac{1}{5}x^5-1x^4-8x^2-16x\right]_{-0,828}^{4,83} \\ =\left(\frac{1}{5}\cdot 4,83^{5}-1\cdot 4,83^{4}-8\cdot 4,83^{2}-16\cdot 4,83\right)-\left(\frac{1}{5}\cdot (-0,828)^{5}-1\cdot (-0,828)^{4}-8\cdot (-0,828)^{2}-16\cdot (-0,828)\right) \\ =\left(-282\right)-\left(7,22\right)=-290 \\ \\ $