Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 13
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= 2x^2+4x \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= 2x^2+4x=2(x+2)x\\ f'\left(x\right)= 4x+4\\ f''\left(x\right)= 4\\ F(x)=\int_{}^{}( 2x^2+4x)dx= \frac{2}{3}x^3+2x^2+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-2),\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2( 2+\dfrac{4}{x}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[2\cdot \infty^2]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[2\cdot (-\infty)^2]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=2\cdot (-x)^{2}+4\cdot (-x) \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= 2x^2+4x = 0 \\ x( 2x+4)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 2x+4=0\\ 2 x+4 =0 \qquad /-4 \\ 2 x= -4 \qquad /:2 \\ x=\displaystyle\frac{-4}{2}\\ x=-2 \\ \underline{x_1=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&0&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;0[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 4x+4 = 0 \\ \\ 4 x+4 =0 \qquad /-4 \\ 4 x= -4 \qquad /:4 \\ x=\displaystyle\frac{-4}{4}\\ x=-1 \\ \underline{x_3=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-1)=4>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-1/-2)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-2}^{0}\left( 2x^2+4x\right)dx=\left[ \frac{2}{3}x^3+2x^2\right]_{-2}^{0} \\ =\left(\frac{2}{3}\cdot 0^{3}+2\cdot 0^{2}\right)-\left(\frac{2}{3}\cdot (-2)^{3}+2\cdot (-2)^{2}\right) \\ =\left(0\right)-\left(2\frac{2}{3}\right)=-2\frac{2}{3} \\ \\ $