Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 85
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3 \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3=-\frac{1}{4}x^3(x-2\frac{2}{3})\\ f'\left(x\right)=-1x^3+2x^2=-1x^2(x-2)\\ f''\left(x\right)=-3x^2+4x=-3x(x-1\frac{1}{3})\\ f'''\left(x\right)=-6x+4 \\ F(x)=\int_{}^{}(-\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3)dx=-\frac{1}{20}x^5+\frac{1}{6}x^4+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty,1\frac{1}{3}] \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^4(-\frac{1}{4}+\dfrac{\frac{2}{3}}{x}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{1}{4}\cdot \infty^4]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{1}{4}\cdot (-\infty)^4]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-\frac{1}{4}\cdot (-x)^{4}+\frac{2}{3}\cdot (-x)^{3} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3 = 0 \\ x^3(-\frac{1}{4}x+\frac{2}{3})=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-\frac{1}{4}x+\frac{2}{3}=0\\ -\frac{1}{4} x+\frac{2}{3} =0 \qquad /-\frac{2}{3} \\ -\frac{1}{4} x= -\frac{2}{3} \qquad /:\left(-\frac{1}{4}\right) \\ x=\displaystyle\frac{-\frac{2}{3}}{-\frac{1}{4}}\\ x=2\frac{2}{3} \\ \underline{x_1=0; \quad3\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=2\frac{2}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&2\frac{2}{3}&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;2\frac{2}{3}[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]2\frac{2}{3};\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-1x^3+2x^2 = 0 \\ x^2(-1x+2)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-1x+2=0\\ -1 x+2 =0 \qquad /-2 \\ -1 x= -2 \qquad /:\left(-1\right) \\ x=\displaystyle\frac{-2}{-1}\\ x=2 \\ \underline{x_3=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=0 \\ f''(0)=0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Terrassenpukt:} (0/0)} \\ f''(2)=-4 \\ f''(2)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (2/1\frac{1}{3})} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&2&< x\\ \hline f'(x)&+&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0;2[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]2;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)=-3x^2+4x = 0 \\ x(-3x+4)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-3x+4=0\\ -3 x+4 =0 \qquad /-4 \\ -3 x= -4 \qquad /:\left(-3\right) \\ x=\displaystyle\frac{-4}{-3}\\ x=1\frac{1}{3} \\ \underline{x_5=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=1\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(0)=0\\ f'''(0) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (0/0)}\\ f'''(1\frac{1}{3})=\frac{64}{81}\\ f'''(1\frac{1}{3}) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (1\frac{1}{3}/\frac{64}{81})}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&1\frac{1}{3}&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;1\frac{1}{3}[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]1\frac{1}{3};\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{0}^{2\frac{2}{3}}\left(-\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3\right)dx=\left[-\frac{1}{20}x^5+\frac{1}{6}x^4\right]_{0}^{2\frac{2}{3}} \\ =\left(-\frac{1}{20}\cdot 2\frac{2}{3}^{5}+\frac{1}{6}\cdot 2\frac{2}{3}^{4}\right)-\left(-\frac{1}{20}\cdot 0^{5}+\frac{1}{6}\cdot 0^{4}\right) \\ =\left(1,69\right)-\left(0\right)=1,69 \\ \\ $