Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 15
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-2x^2+3x+4 \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-2x^2+3x+4=-2(x+0,851)(x-2,35)\\ f'\left(x\right)=-4x+3\\ f''\left(x\right)=-4\\ F(x)=\int_{}^{}(-2x^2+3x+4)dx=-\frac{2}{3}x^3+1\frac{1}{2}x^2+4x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty,5\frac{1}{8}] \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2(-2+\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-2\cdot \infty^2]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-2\cdot (-\infty)^2]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-2\cdot (-x)^{2}+3\cdot (-x)+4 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-2x^2+3x+4 = 0 \\ \\ \\ -2x^{2}+3x+4 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-3 \pm\sqrt{3^{2}-4\cdot \left(-2\right) \cdot 4}}{2\cdot\left(-2\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-3 \pm\sqrt{41}}{-4} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-3 \pm6,4}{-4} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-3 +6,4}{-4} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-3 -6,4}{-4} \\ x_{1}=-0,851 \qquad x_{2}=2,35 \\ \underline{x_1=-0,851; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=2,35; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-0,851&< x <&2,35&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-0,851;2,35[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-0,851[\quad \cup \quad]2,35;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-4x+3 = 0 \\ \\ -4 x+3 =0 \qquad /-3 \\ -4 x= -3 \qquad /:\left(-4\right) \\ x=\displaystyle\frac{-3}{-4}\\ x=\frac{3}{4} \\ \underline{x_3=\frac{3}{4}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(\frac{3}{4})=-4 \\ f''(\frac{3}{4})<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (\frac{3}{4}/5\frac{1}{8})} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &\frac{3}{4}&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;\frac{3}{4}[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]\frac{3}{4};\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-0,851}^{2,35}\left(-2x^2+3x+4\right)dx=\left[-\frac{2}{3}x^3+1\frac{1}{2}x^2+4x\right]_{-0,851}^{2,35} \\ =\left(-\frac{2}{3}\cdot 2,35^{3}+1\frac{1}{2}\cdot 2,35^{2}+4\cdot 2,35\right)-\left(-\frac{2}{3}\cdot (-0,851)^{3}+1\frac{1}{2}\cdot (-0,851)^{2}+4\cdot (-0,851)\right) \\ =\left(9,03\right)-\left(-1,91\right)=10,9 \\ \\ $