Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 65
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= 1\frac{19}{35}x^3-10\frac{4}{5}x^2+18\frac{18}{35}x \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= 1\frac{19}{35}x^3-10\frac{4}{5}x^2+18\frac{18}{35}x=1\frac{19}{35}x(x-3)(x-4)\\ f'\left(x\right)= 4\frac{22}{35}x^2-21\frac{3}{5}x+18\frac{18}{35}=4\frac{22}{35}(x-1,13)(x-3,54)\\ f''\left(x\right)= 9\frac{9}{35}x-21\frac{3}{5}=9\frac{9}{35}(x-2\frac{1}{3})\\ f'''\left(x\right)= 9\frac{9}{35} \\ F(x)=\int_{}^{}( 1\frac{19}{35}x^3-10\frac{4}{5}x^2+18\frac{18}{35}x)dx= \frac{27}{70}x^4-3\frac{3}{5}x^3+9\frac{9}{35}x^2+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3( 1\frac{19}{35}-\dfrac{10\frac{4}{5}}{x}+\dfrac{18\frac{18}{35}}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[1\frac{19}{35}\cdot \infty^3]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[1\frac{19}{35}\cdot (-\infty)^3]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=1\frac{19}{35}\cdot (-x)^{3}-10\frac{4}{5}\cdot (-x)^{2}+18\frac{18}{35}\cdot (-x) \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= 1\frac{19}{35}x^3-10\frac{4}{5}x^2+18\frac{18}{35}x = 0 \\ x( 1\frac{19}{35}x^2-10\frac{4}{5}x+18\frac{18}{35})=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 1\frac{19}{35}x^2-10\frac{4}{5}x+18\frac{18}{35}=0\\ \\ 1\frac{19}{35}x^{2}-10\frac{4}{5}x+18\frac{18}{35} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+10\frac{4}{5} \pm\sqrt{\left(-10\frac{4}{5}\right)^{2}-4\cdot 1\frac{19}{35} \cdot 18\frac{18}{35}}}{2\cdot1\frac{19}{35}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+10\frac{4}{5} \pm\sqrt{2,38}}{3\frac{3}{35}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{10\frac{4}{5} \pm1\frac{19}{35}}{3\frac{3}{35}} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{10\frac{4}{5} +1\frac{19}{35}}{3\frac{3}{35}} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{10\frac{4}{5} -1\frac{19}{35}}{3\frac{3}{35}} \\ x_{1}=4 \qquad x_{2}=3 \\ \underline{x_1=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=4; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&3&< x <&4&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;3[\quad \cup \quad]4;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]3;4[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 4\frac{22}{35}x^2-21\frac{3}{5}x+18\frac{18}{35} = 0 \\ \\ \\ 4\frac{22}{35}x^{2}-21\frac{3}{5}x+18\frac{18}{35} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+21\frac{3}{5} \pm\sqrt{\left(-21\frac{3}{5}\right)^{2}-4\cdot 4\frac{22}{35} \cdot 18\frac{18}{35}}}{2\cdot4\frac{22}{35}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+21\frac{3}{5} \pm\sqrt{124}}{9\frac{9}{35}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{21\frac{3}{5} \pm11,1}{9\frac{9}{35}} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{21\frac{3}{5} +11,1}{9\frac{9}{35}} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{21\frac{3}{5} -11,1}{9\frac{9}{35}} \\ x_{1}=3,54 \qquad x_{2}=1,13 \\ \underline{x_4=1,13; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=3,54; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(1,13)=-11,1 \\ f''(1,13)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (1,13/9,36)} \\ f''(3,54)=11,1>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (3,54/-1,36)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &1,13&< x <&3,54&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;1,13[\quad \cup \quad]3,54;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1,13;3,54[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 9\frac{9}{35}x-21\frac{3}{5} = 0 \\ \\ 9\frac{9}{35} x-21\frac{3}{5} =0 \qquad /+21\frac{3}{5} \\ 9\frac{9}{35} x= 21\frac{3}{5} \qquad /:9\frac{9}{35} \\ x=\displaystyle\frac{21\frac{3}{5}}{9\frac{9}{35}}\\ x=2\frac{1}{3} \\ \underline{x_6=2\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(2\frac{1}{3})=4\\ f'''(2\frac{1}{3}) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (2\frac{1}{3}/4)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &2\frac{1}{3}&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]2\frac{1}{3};\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;2\frac{1}{3}[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{0}^{3}\left( 1\frac{19}{35}x^3-10\frac{4}{5}x^2+18\frac{18}{35}x\right)dx=\left[ \frac{27}{70}x^4-3\frac{3}{5}x^3+9\frac{9}{35}x^2\right]_{0}^{3} \\ =\left(\frac{27}{70}\cdot 3^{4}-3\frac{3}{5}\cdot 3^{3}+9\frac{9}{35}\cdot 3^{2}\right)-\left(\frac{27}{70}\cdot 0^{4}-3\frac{3}{5}\cdot 0^{3}+9\frac{9}{35}\cdot 0^{2}\right) \\ =\left(17\frac{5}{14}\right)-\left(0\right)=17\frac{5}{14} \\ A=\int_{3}^{4}\left( 1\frac{19}{35}x^3-10\frac{4}{5}x^2+18\frac{18}{35}x\right)dx=\left[ \frac{27}{70}x^4-3\frac{3}{5}x^3+9\frac{9}{35}x^2\right]_{3}^{4} \\ =\left(\frac{27}{70}\cdot 4^{4}-3\frac{3}{5}\cdot 4^{3}+9\frac{9}{35}\cdot 4^{2}\right)-\left(\frac{27}{70}\cdot 3^{4}-3\frac{3}{5}\cdot 3^{3}+9\frac{9}{35}\cdot 3^{2}\right) \\ =\left(16\frac{16}{35}\right)-\left(17\frac{5}{14}\right)=-\frac{9}{10} \\ \\ $