Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 56
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-6\frac{3}{4}x^3-13\frac{1}{2}x^2 \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-6\frac{3}{4}x^3-13\frac{1}{2}x^2=-6\frac{3}{4}(x+2)x^2\\ f'\left(x\right)=-20\frac{1}{4}x^2-27x=-20\frac{1}{4}(x+1\frac{1}{3})x\\ f''\left(x\right)=-40\frac{1}{2}x-27=-40\frac{1}{2}(x+\frac{2}{3})\\ f'''\left(x\right)=-40\frac{1}{2} \\ F(x)=\int_{}^{}(-6\frac{3}{4}x^3-13\frac{1}{2}x^2)dx=-1\frac{11}{16}x^4-4\frac{1}{2}x^3+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3(-6\frac{3}{4}-\dfrac{13\frac{1}{2}}{x}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-6\frac{3}{4}\cdot \infty^3]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-6\frac{3}{4}\cdot (-\infty)^3]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-6\frac{3}{4}\cdot (-x)^{3}-13\frac{1}{2}\cdot (-x)^{2} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-6\frac{3}{4}x^3-13\frac{1}{2}x^2 = 0 \\ x^2(-6\frac{3}{4}x-13\frac{1}{2})=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-6\frac{3}{4}x-13\frac{1}{2}=0\\ -6\frac{3}{4} x-13\frac{1}{2} =0 \qquad /+13\frac{1}{2} \\ -6\frac{3}{4} x= 13\frac{1}{2} \qquad /:\left(-6\frac{3}{4}\right) \\ x=\displaystyle\frac{13\frac{1}{2}}{-6\frac{3}{4}}\\ x=-2 \\ \underline{x_1=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&0&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;0[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-20\frac{1}{4}x^2-27x = 0 \\ x(-20\frac{1}{4}x-27)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-20\frac{1}{4}x-27=0\\ -20\frac{1}{4} x-27 =0 \qquad /+27 \\ -20\frac{1}{4} x= 27 \qquad /:\left(-20\frac{1}{4}\right) \\ x=\displaystyle\frac{27}{-20\frac{1}{4}}\\ x=-1\frac{1}{3} \\ \underline{x_3=-1\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-1\frac{1}{3})=27>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-1\frac{1}{3}/-8)} \\ f''(0)=-27 \\ f''(0)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (0/0)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1\frac{1}{3}&< x <&0&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1\frac{1}{3};0[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1\frac{1}{3}[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)=-40\frac{1}{2}x-27 = 0 \\ \\ -40\frac{1}{2} x-27 =0 \qquad /+27 \\ -40\frac{1}{2} x= 27 \qquad /:\left(-40\frac{1}{2}\right) \\ x=\displaystyle\frac{27}{-40\frac{1}{2}}\\ x=-\frac{2}{3} \\ \underline{x_5=-\frac{2}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-\frac{2}{3})=-4\\ f'''(-\frac{2}{3}) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-\frac{2}{3}/-4)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-\frac{2}{3}&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-\frac{2}{3}[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\frac{2}{3};\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-2}^{0}\left(-6\frac{3}{4}x^3-13\frac{1}{2}x^2\right)dx=\left[-1\frac{11}{16}x^4-4\frac{1}{2}x^3\right]_{-2}^{0} \\ =\left(-1\frac{11}{16}\cdot 0^{4}-4\frac{1}{2}\cdot 0^{3}\right)-\left(-1\frac{11}{16}\cdot (-2)^{4}-4\frac{1}{2}\cdot (-2)^{3}\right) \\ =\left(0\right)-\left(9\right)=-9 \\ \\ $