Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 23
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= 12x^2+12x \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= 12x^2+12x=12(x+1)x\\ f'\left(x\right)= 24x+12\\ f''\left(x\right)= 24\\ F(x)=\int_{}^{}( 12x^2+12x)dx= 4x^3+6x^2+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-3),\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2( 12+\dfrac{12}{x}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[12\cdot \infty^2]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[12\cdot (-\infty)^2]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=12\cdot (-x)^{2}+12\cdot (-x) \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= 12x^2+12x = 0 \\ x( 12x+12)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 12x+12=0\\ 12 x+12 =0 \qquad /-12 \\ 12 x= -12 \qquad /:12 \\ x=\displaystyle\frac{-12}{12}\\ x=-1 \\ \underline{x_1=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&0&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;0[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 24x+12 = 0 \\ \\ 24 x+12 =0 \qquad /-12 \\ 24 x= -12 \qquad /:24 \\ x=\displaystyle\frac{-12}{24}\\ x=-\frac{1}{2} \\ \underline{x_3=-\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-\frac{1}{2})=24>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-\frac{1}{2}/-3)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-\frac{1}{2}&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\frac{1}{2};\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-\frac{1}{2}[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-1}^{0}\left( 12x^2+12x\right)dx=\left[ 4x^3+6x^2\right]_{-1}^{0} \\ =\left(4\cdot 0^{3}+6\cdot 0^{2}\right)-\left(4\cdot (-1)^{3}+6\cdot (-1)^{2}\right) \\ =\left(0\right)-\left(2\right)=-2 \\ \\ $