Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 64
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= 54x^3-270x^2+432x-216 \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= 54x^3-270x^2+432x-216=54(x-1)(x-2)^2\\ f'\left(x\right)= 162x^2-540x+432=162(x-1\frac{1}{3})(x-2)\\ f''\left(x\right)= 324x-540=324(x-1\frac{2}{3})\\ f'''\left(x\right)= 324 \\ F(x)=\int_{}^{}( 54x^3-270x^2+432x-216)dx= 13\frac{1}{2}x^4-90x^3+216x^2-216x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3( 54-\dfrac{270}{x}+\dfrac{432}{x^2}-\dfrac{216}{x^3}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[54\cdot \infty^3]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[54\cdot (-\infty)^3]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=54\cdot (-x)^{3}-270\cdot (-x)^{2}+432\cdot (-x)-216 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= 54x^3-270x^2+432x-216 = 0 \\ \\ 54x^3-270x^2+432x-216=0 \\\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}1\\ \,\small \begin{matrix} ( 54x^3&-270x^2&+432x&-216&):( x -1 )= 54x^2 -216x +216 \\ \,-( 54x^3&-54x^2) \\ \hline &-216x^2&+432x&-216&\\ &-(-216x^2&+216x) \\ \hline && 216x&-216&\\ &&-( 216x&-216) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ 54x^{2}-216x+216 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+216 \pm\sqrt{\left(-216\right)^{2}-4\cdot 54 \cdot 216}}{2\cdot54} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+216 \pm\sqrt{0}}{108} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{216 \pm0}{108} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{216 +0}{108} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{216 -0}{108} \\ x_{1}=2 \qquad x_{2}=2 \\ \underline{x_1=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=2; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &1&< x <&2&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1;2[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;1[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 162x^2-540x+432 = 0 \\ \\ \\ 162x^{2}-540x+432 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+540 \pm\sqrt{\left(-540\right)^{2}-4\cdot 162 \cdot 432}}{2\cdot162} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+540 \pm\sqrt{1,17\cdot 10^{4}}}{324} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{540 \pm108}{324} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{540 +108}{324} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{540 -108}{324} \\ x_{1}=2 \qquad x_{2}=1\frac{1}{3} \\ \underline{x_3=1\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(1\frac{1}{3})=-108 \\ f''(1\frac{1}{3})<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (1\frac{1}{3}/8)} \\ f''(2)=108>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (2/0)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &1\frac{1}{3}&< x <&2&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;1\frac{1}{3}[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1\frac{1}{3};2[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 324x-540 = 0 \\ \\ 324 x-540 =0 \qquad /+540 \\ 324 x= 540 \qquad /:324 \\ x=\displaystyle\frac{540}{324}\\ x=1\frac{2}{3} \\ \underline{x_5=1\frac{2}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(1\frac{2}{3})=4\\ f'''(1\frac{2}{3}) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (1\frac{2}{3}/4)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &1\frac{2}{3}&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1\frac{2}{3};\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;1\frac{2}{3}[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{1}^{2}\left( 54x^3-270x^2+432x-216\right)dx=\left[ 13\frac{1}{2}x^4-90x^3+216x^2-216x\right]_{1}^{2} \\ =\left(13\frac{1}{2}\cdot 2^{4}-90\cdot 2^{3}+216\cdot 2^{2}-216\cdot 2\right)-\left(13\frac{1}{2}\cdot 1^{4}-90\cdot 1^{3}+216\cdot 1^{2}-216\cdot 1\right) \\ =\left(-72\right)-\left(-76\frac{1}{2}\right)=4\frac{1}{2} \\ \\ $