Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 48
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{2}x^2+4x+6 \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{2}x^2+4x+6=-\frac{1}{2}(x+2)^2(x-3)\\ f'\left(x\right)=-1\frac{1}{2}x^2-1x+4=-1\frac{1}{2}(x+2)(x-1\frac{1}{3})\\ f''\left(x\right)=-3x-1=-3(x+\frac{1}{3})\\ f'''\left(x\right)=-3 \\ F(x)=\int_{}^{}(-\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{2}x^2+4x+6)dx=-\frac{1}{8}x^4-\frac{1}{6}x^3+2x^2+6x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3(-\frac{1}{2}-\dfrac{\frac{1}{2}}{x}+\dfrac{4}{x^2}+\dfrac{6}{x^3}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{1}{2}\cdot \infty^3]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{1}{2}\cdot (-\infty)^3]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-\frac{1}{2}\cdot (-x)^{3}-\frac{1}{2}\cdot (-x)^{2}+4\cdot (-x)+6 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{2}x^2+4x+6 = 0 \\ \\-\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{2}x^2+4x+6=0 \\\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}-2\\ \,\small \begin{matrix} (-\frac{1}{2}x^3&-\frac{1}{2}x^2&+4x&+6&):( x +2 )=-\frac{1}{2}x^2 +\frac{1}{2}x +3 \\ \,-(-\frac{1}{2}x^3&-1x^2) \\ \hline & \frac{1}{2}x^2&+4x&+6&\\ &-( \frac{1}{2}x^2&+x) \\ \hline && 3x&+6&\\ &&-( 3x&+6) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ -\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x+3 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-\frac{1}{2} \pm\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot 3}}{2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-\frac{1}{2} \pm\sqrt{6\frac{1}{4}}}{-1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-\frac{1}{2} \pm2\frac{1}{2}}{-1} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-\frac{1}{2} +2\frac{1}{2}}{-1} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-\frac{1}{2} -2\frac{1}{2}}{-1} \\ x_{1}=-2 \qquad x_{2}=3 \\ \underline{x_1=-2; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&3&< x\\ \hline f(x)&+&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]-2;3[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]3;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-1\frac{1}{2}x^2-1x+4 = 0 \\ \\ \\ -1\frac{1}{2}x^{2}-1x+4 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+1 \pm\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\cdot \left(-1\frac{1}{2}\right) \cdot 4}}{2\cdot\left(-1\frac{1}{2}\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+1 \pm\sqrt{25}}{-3} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{1 \pm5}{-3} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{1 +5}{-3} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{1 -5}{-3} \\ x_{1}=-2 \qquad x_{2}=1\frac{1}{3} \\ \underline{x_3=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=1\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-2)=5>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-2/0)} \\ f''(1\frac{1}{3})=-5 \\ f''(1\frac{1}{3})<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (1\frac{1}{3}/9\frac{7}{27})} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&1\frac{1}{3}&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;1\frac{1}{3}[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]1\frac{1}{3};\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)=-3x-1 = 0 \\ \\ -3 x-1 =0 \qquad /+1 \\ -3 x= 1 \qquad /:\left(-3\right) \\ x=\displaystyle\frac{1}{-3}\\ x=-\frac{1}{3} \\ \underline{x_5=-\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-\frac{1}{3})=4\frac{17}{27}\\ f'''(-\frac{1}{3}) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-\frac{1}{3}/4\frac{17}{27})}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-\frac{1}{3}&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-\frac{1}{3}[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\frac{1}{3};\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-2}^{3}\left(-\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{2}x^2+4x+6\right)dx=\left[-\frac{1}{8}x^4-\frac{1}{6}x^3+2x^2+6x\right]_{-2}^{3} \\ =\left(-\frac{1}{8}\cdot 3^{4}-\frac{1}{6}\cdot 3^{3}+2\cdot 3^{2}+6\cdot 3\right)-\left(-\frac{1}{8}\cdot (-2)^{4}-\frac{1}{6}\cdot (-2)^{3}+2\cdot (-2)^{2}+6\cdot (-2)\right) \\ =\left(21\frac{3}{8}\right)-\left(-4\frac{2}{3}\right)=26\frac{1}{24} \\ \\ $