Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 59
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= x^3+3x^2-4 \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= x^3+3x^2-4=(x+2)^2(x-1)\\ f'\left(x\right)= 3x^2+6x=3(x+2)x\\ f''\left(x\right)= 6x+6=6(x+1)\\ f'''\left(x\right)= 6 \\ F(x)=\int_{}^{}( x^3+3x^2-4)dx= \frac{1}{4}x^4+x^3-4x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3( 1+\dfrac{3}{x}-\dfrac{4}{x^3}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot \infty^3]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot (-\infty)^3]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=1\cdot (-x)^{3}+3\cdot (-x)^{2}-4 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= x^3+3x^2-4 = 0 \\ \\ x^3+3x^2-4=0 \\\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}1\\ \,\small \begin{matrix} ( x^3&+3x^2&&-4&):( x -1 )= x^2 +4x +4 \\ \,-( x^3&-1x^2) \\ \hline & 4x^2&&-4&\\ &-( 4x^2&-4x) \\ \hline && 4x&-4&\\ &&-( 4x&-4) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ 1x^{2}+4x+4 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-4 \pm\sqrt{4^{2}-4\cdot 1 \cdot 4}}{2\cdot1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm\sqrt{0}}{2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm0}{2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-4 +0}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-4 -0}{2} \\ x_{1}=-2 \qquad x_{2}=-2 \\ \underline{x_1=-2; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&1&< x\\ \hline f(x)&-&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]-2;1[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 3x^2+6x = 0 \\ x( 3x+6)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 3x+6=0\\ 3 x+6 =0 \qquad /-6 \\ 3 x= -6 \qquad /:3 \\ x=\displaystyle\frac{-6}{3}\\ x=-2 \\ \underline{x_3=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-2)=-6 \\ f''(-2)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-2/0)} \\ f''(0)=6>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (0/-4)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&0&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;0[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 6x+6 = 0 \\ \\ 6 x+6 =0 \qquad /-6 \\ 6 x= -6 \qquad /:6 \\ x=\displaystyle\frac{-6}{6}\\ x=-1 \\ \underline{x_5=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-1)=-2\\ f'''(-1) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-1/-2)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-2}^{1}\left( x^3+3x^2-4\right)dx=\left[ \frac{1}{4}x^4+x^3-4x\right]_{-2}^{1} \\ =\left(\frac{1}{4}\cdot 1^{4}+1\cdot 1^{3}-4\cdot 1\right)-\left(\frac{1}{4}\cdot (-2)^{4}+1\cdot (-2)^{3}-4\cdot (-2)\right) \\ =\left(-2\frac{3}{4}\right)-\left(4\right)=-6\frac{3}{4} \\ \\ $