Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 20
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-1\frac{1}{4}x^2+5x \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-1\frac{1}{4}x^2+5x=-1\frac{1}{4}x(x-4)\\ f'\left(x\right)=-2\frac{1}{2}x+5\\ f''\left(x\right)=-2\frac{1}{2}\\ F(x)=\int_{}^{}(-1\frac{1}{4}x^2+5x)dx=-\frac{5}{12}x^3+2\frac{1}{2}x^2+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty,5] \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2(-1\frac{1}{4}+\dfrac{5}{x}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-1\frac{1}{4}\cdot \infty^2]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-1\frac{1}{4}\cdot (-\infty)^2]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-1\frac{1}{4}\cdot (-x)^{2}+5\cdot (-x) \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-1\frac{1}{4}x^2+5x = 0 \\ x(-1\frac{1}{4}x+5)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-1\frac{1}{4}x+5=0\\ -1\frac{1}{4} x+5 =0 \qquad /-5 \\ -1\frac{1}{4} x= -5 \qquad /:\left(-1\frac{1}{4}\right) \\ x=\displaystyle\frac{-5}{-1\frac{1}{4}}\\ x=4 \\ \underline{x_1=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=4; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&4&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;4[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]4;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-2\frac{1}{2}x+5 = 0 \\ \\ -2\frac{1}{2} x+5 =0 \qquad /-5 \\ -2\frac{1}{2} x= -5 \qquad /:\left(-2\frac{1}{2}\right) \\ x=\displaystyle\frac{-5}{-2\frac{1}{2}}\\ x=2 \\ \underline{x_3=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(2)=-2\frac{1}{2} \\ f''(2)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (2/5)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &2&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;2[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]2;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{0}^{4}\left(-1\frac{1}{4}x^2+5x\right)dx=\left[-\frac{5}{12}x^3+2\frac{1}{2}x^2\right]_{0}^{4} \\ =\left(-\frac{5}{12}\cdot 4^{3}+2\frac{1}{2}\cdot 4^{2}\right)-\left(-\frac{5}{12}\cdot 0^{3}+2\frac{1}{2}\cdot 0^{2}\right) \\ =\left(13\frac{1}{3}\right)-\left(0\right)=13\frac{1}{3} \\ \\ $