Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 16
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= x^2+6x-2 \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= x^2+6x-2=(x+6,32)(x-0,317)\\ f'\left(x\right)= 2x+6\\ f''\left(x\right)= 2\\ F(x)=\int_{}^{}( x^2+6x-2)dx= \frac{1}{3}x^3+3x^2-2x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-11),\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2( 1+\dfrac{6}{x}-\dfrac{2}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot \infty^2]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot (-\infty)^2]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=1\cdot (-x)^{2}+6\cdot (-x)-2 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= x^2+6x-2 = 0 \\ \\ \\ 1x^{2}+6x-2 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-6 \pm\sqrt{6^{2}-4\cdot 1 \cdot \left(-2\right)}}{2\cdot1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-6 \pm\sqrt{44}}{2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-6 \pm6,63}{2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-6 +6,63}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-6 -6,63}{2} \\ x_{1}=0,317 \qquad x_{2}=-6,32 \\ \underline{x_1=-6,32; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0,317; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-6,32&< x <&0,317&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-6,32[\quad \cup \quad]0,317;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-6,32;0,317[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 2x+6 = 0 \\ \\ 2 x+6 =0 \qquad /-6 \\ 2 x= -6 \qquad /:2 \\ x=\displaystyle\frac{-6}{2}\\ x=-3 \\ \underline{x_3=-3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-3)=2>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-3/-11)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-3&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-3;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-6,32}^{0,317}\left( x^2+6x-2\right)dx=\left[ \frac{1}{3}x^3+3x^2-2x\right]_{-6,32}^{0,317} \\ =\left(\frac{1}{3}\cdot 0,317^{3}+3\cdot 0,317^{2}-2\cdot 0,317\right)-\left(\frac{1}{3}\cdot (-6,32)^{3}+3\cdot (-6,32)^{2}-2\cdot (-6,32)\right) \\ =\left(-0,322\right)-\left(48,3\right)=-48,6 \\ \\ $