Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion



Beispiel Nr: 49
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ $$\text{Funktion:}f\left(x\right)= x^3-4x^2+3x \ $ <br/> $\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= x^3-4x^2+3x=x(x-1)(x-3)\\ f'\left(x\right)= 3x^2-8x+3=3(x-0,451)(x-2,22)\\ f''\left(x\right)= 6x-8=6(x-1\frac{1}{3})\\ f'''\left(x\right)= 6 \\ F(x)=\int_{}^{}( x^3-4x^2+3x)dx= \frac{1}{4}x^4-1\frac{1}{3}x^3+1\frac{1}{2}x^2+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3( 1-\dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot \infty^3]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot (-\infty)^3]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=1\cdot (-x)^{3}-4\cdot (-x)^{2}+3\cdot (-x) \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= x^3-4x^2+3x = 0 \\ x( x^2-4x+3)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad x^2-4x+3=0\\ \\ 1x^{2}-4x+3 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+4 \pm\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\cdot 1 \cdot 3}}{2\cdot1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+4 \pm\sqrt{4}}{2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{4 \pm2}{2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{4 +2}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{4 -2}{2} \\ x_{1}=3 \qquad x_{2}=1 \\ \underline{x_1=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&1&< x <&3&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;1[\quad \cup \quad]3;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]1;3[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 3x^2-8x+3 = 0 \\ \\ \\ 3x^{2}-8x+3 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+8 \pm\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\cdot 3 \cdot 3}}{2\cdot3} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+8 \pm\sqrt{28}}{6} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{8 \pm5,29}{6} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{8 +5,29}{6} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{8 -5,29}{6} \\ x_{1}=2,22 \qquad x_{2}=0,451 \\ \underline{x_4=0,451; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=2,22; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0,451)=-5,29 \\ f''(0,451)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (0,451/0,631)} \\ f''(2,22)=5,29>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (2,22/-2,11)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0,451&< x <&2,22&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0,451[\quad \cup \quad]2,22;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0,451;2,22[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 6x-8 = 0 \\ \\ 6 x-8 =0 \qquad /+8 \\ 6 x= 8 \qquad /:6 \\ x=\displaystyle\frac{8}{6}\\ x=1\frac{1}{3} \\ \underline{x_6=1\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(1\frac{1}{3})=-\frac{20}{27}\\ f'''(1\frac{1}{3}) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (1\frac{1}{3}/-\frac{20}{27})}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &1\frac{1}{3}&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1\frac{1}{3};\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;1\frac{1}{3}[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{0}^{1}\left( x^3-4x^2+3x\right)dx=\left[ \frac{1}{4}x^4-1\frac{1}{3}x^3+1\frac{1}{2}x^2\right]_{0}^{1} \\ =\left(\frac{1}{4}\cdot 1^{4}-1\frac{1}{3}\cdot 1^{3}+1\frac{1}{2}\cdot 1^{2}\right)-\left(\frac{1}{4}\cdot 0^{4}-1\frac{1}{3}\cdot 0^{3}+1\frac{1}{2}\cdot 0^{2}\right) \\ =\left(\frac{5}{12}\right)-\left(0\right)=\frac{5}{12} \\ A=\int_{1}^{3}\left( x^3-4x^2+3x\right)dx=\left[ \frac{1}{4}x^4-1\frac{1}{3}x^3+1\frac{1}{2}x^2\right]_{1}^{3} \\ =\left(\frac{1}{4}\cdot 3^{4}-1\frac{1}{3}\cdot 3^{3}+1\frac{1}{2}\cdot 3^{2}\right)-\left(\frac{1}{4}\cdot 1^{4}-1\frac{1}{3}\cdot 1^{3}+1\frac{1}{2}\cdot 1^{2}\right) \\ =\left(-2\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{5}{12}\right)=-2\frac{2}{3} \\ \\ $