Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion
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Beispiel Nr: 10
$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich}
\\ \text{Grenzwerte}
\\ \text{Symmetrie}
\\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse}
\\ \text{Ableitungen - Stammfunktion}
\\ \text{Extremwerte - Monotonie}
\\ \text{Wendepunkte - Krümmung}
\\ \text{Stammfunktion}
\\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)=-\frac{1}{3}x^2+2x \ <br/>
\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-\frac{1}{3}x^2+2x=-\frac{1}{3}x(x-6)\\
f'\left(x\right)=-\frac{2}{3}x+2\\
f''\left(x\right)=-\frac{2}{3}\\
F(x)=\int_{}^{}(-\frac{1}{3}x^2+2x)dx=-\frac{1}{9}x^3+x^2+c
\\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty,3] \\
\\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\
f(x)=x^2(-\frac{1}{3}+\dfrac{2}{x}) \\
\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{1}{3}\cdot \infty^2]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{1}{3}\cdot (-\infty)^2]=-\infty \\
\\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-\frac{1}{3}\cdot (-x)^{2}+2\cdot (-x) \\
\text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung }
\\
\\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-\frac{1}{3}x^2+2x = 0 \\ x(-\frac{1}{3}x+2)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-\frac{1}{3}x+2=0\\
-\frac{1}{3} x+2 =0 \qquad /-2 \\
-\frac{1}{3} x= -2 \qquad /:\left(-\frac{1}{3}\right) \\
x=\displaystyle\frac{-2}{-\frac{1}{3}}\\
x=6
\\ \underline{x_1=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=6; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\
\\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||}
\hline
& x < &0&< x <&6&< x\\
\hline
f(x)&-&0&+&0&-\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]0;6[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]6;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\
\\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-\frac{2}{3}x+2 = 0 \\ \\
-\frac{2}{3} x+2 =0 \qquad /-2 \\
-\frac{2}{3} x= -2 \qquad /:\left(-\frac{2}{3}\right) \\
x=\displaystyle\frac{-2}{-\frac{2}{3}}\\
x=3
\\ \underline{x_3=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(3)=-\frac{2}{3} \\
f''(3)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (3/3)} \\
\\
\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\
\begin{array}{|c|c|c|c||}
\hline
& x < &3&< x\\
\hline
f'(x)&+&0&-\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;3[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\
\underline{\quad x \in ]3;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\
\\
\bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{0}^{6}\left(-\frac{1}{3}x^2+2x\right)dx=\left[-\frac{1}{9}x^3+x^2\right]_{0}^{6}
\\ =\left(-\frac{1}{9}\cdot 6^{3}+1\cdot 6^{2}\right)-\left(-\frac{1}{9}\cdot 0^{3}+1\cdot 0^{2}\right)
\\ =\left(12\right)-\left(0\right)=12
\\ \\
\end{array}$