Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion
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Beispiel Nr: 11
$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich}
\\ \text{Grenzwerte}
\\ \text{Symmetrie}
\\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse}
\\ \text{Ableitungen - Stammfunktion}
\\ \text{Extremwerte - Monotonie}
\\ \text{Wendepunkte - Krümmung}
\\ \text{Stammfunktion}
\\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)= x^2-4x+7 \ <br/>
\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= x^2-4x+7\\
f'\left(x\right)= 2x-4\\
f''\left(x\right)= 2\\
F(x)=\int_{}^{}( x^2-4x+7)dx= \frac{1}{3}x^3-2x^2+7x+c
\\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [3,\infty[ \\
\\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\
f(x)=x^2( 1-\dfrac{4}{x}+\dfrac{7}{x^2}) \\
\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot \infty^2]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot (-\infty)^2]=\infty \\
\\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=1\cdot (-x)^{2}-4\cdot (-x)+7 \\
\text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung }
\\
\\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= x^2-4x+7 = 0 \\ \\
1x^{2}-4x+7 =0\\
x_{1/2}=\displaystyle\frac{+4 \pm\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 7}}{2\cdot1}\\
x_{1/2}=\displaystyle \frac{+4 \pm\sqrt{-12}}{2}\\
\text{Diskriminante negativ keine Lösung}
\\
\\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\\text{kein Vorzeichenwechsel} \\\underline{ x \in \mathbb{R} \qquad f(x)>0\quad \text{oberhalb der x-Achse}} \\
\\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 2x-4 = 0 \\ \\
2 x-4 =0 \qquad /+4 \\
2 x= 4 \qquad /:2 \\
x=\displaystyle\frac{4}{2}\\
x=2
\\ \underline{x_1=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(2)=2>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (2/3)} \\
\\
\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\
\begin{array}{|c|c|c|c||}
\hline
& x < &2&< x\\
\hline
f'(x)&-&0&+\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]2;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;2[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\
\\
\bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\\text{keine Fläche}
\\ \\
\end{array}$