Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion
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Beispiel Nr: 12
$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich}
\\ \text{Grenzwerte}
\\ \text{Symmetrie}
\\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse}
\\ \text{Ableitungen - Stammfunktion}
\\ \text{Extremwerte - Monotonie}
\\ \text{Wendepunkte - Krümmung}
\\ \text{Stammfunktion}
\\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)=-1x^2+4x-7 \ <br/>
\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-1x^2+4x-7\\
f'\left(x\right)=-2x+4\\
f''\left(x\right)=-2\\
F(x)=\int_{}^{}(-1x^2+4x-7)dx=-\frac{1}{3}x^3+2x^2-7x+c
\\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty,(-3)] \\
\\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\
f(x)=x^2(-1+\dfrac{4}{x}-\dfrac{7}{x^2}) \\
\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-1\cdot \infty^2]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-1\cdot (-\infty)^2]=-\infty \\
\\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-1\cdot (-x)^{2}+4\cdot (-x)-7 \\
\text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung }
\\
\\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-1x^2+4x-7 = 0 \\ \\
-1x^{2}+4x-7 =0\\
x_{1/2}=\displaystyle\frac{-4 \pm\sqrt{4^{2}-4 \cdot \left(-1\right) \cdot \left(-7\right)}}{2\cdot\left(-1\right)}\\
x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm\sqrt{-12}}{-2}\\
\text{Diskriminante negativ keine Lösung}
\\
\\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\\text{kein Vorzeichenwechsel} \\\underline{ x \in \mathbb{R} \qquad f(x)<0\quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\
\\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-2x+4 = 0 \\ \\
-2 x+4 =0 \qquad /-4 \\
-2 x= -4 \qquad /:\left(-2\right) \\
x=\displaystyle\frac{-4}{-2}\\
x=2
\\ \underline{x_1=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(2)=-2 \\
f''(2)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (2/-3)} \\
\\
\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\
\begin{array}{|c|c|c|c||}
\hline
& x < &2&< x\\
\hline
f'(x)&+&0&-\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;2[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\
\underline{\quad x \in ]2;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\
\\
\bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\\text{keine Fläche}
\\ \\
\end{array}$