Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion
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Beispiel Nr: 13
$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich}
\\ \text{Grenzwerte}
\\ \text{Symmetrie}
\\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse}
\\ \text{Ableitungen - Stammfunktion}
\\ \text{Extremwerte - Monotonie}
\\ \text{Wendepunkte - Krümmung}
\\ \text{Stammfunktion}
\\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)= 2x^2+4x \ <br/>
\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= 2x^2+4x=2(x+2)x\\
f'\left(x\right)= 4x+4\\
f''\left(x\right)= 4\\
F(x)=\int_{}^{}( 2x^2+4x)dx= \frac{2}{3}x^3+2x^2+c
\\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-2),\infty[ \\
\\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\
f(x)=x^2( 2+\dfrac{4}{x}) \\
\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[2\cdot \infty^2]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[2\cdot (-\infty)^2]=\infty \\
\\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=2\cdot (-x)^{2}+4\cdot (-x) \\
\text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung }
\\
\\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= 2x^2+4x = 0 \\ x( 2x+4)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 2x+4=0\\
2 x+4 =0 \qquad /-4 \\
2 x= -4 \qquad /:2 \\
x=\displaystyle\frac{-4}{2}\\
x=-2
\\ \underline{x_1=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\
\\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||}
\hline
& x < &-2&< x <&0&< x\\
\hline
f(x)&+&0&-&0&+\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-2;0[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\
\\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 4x+4 = 0 \\ \\
4 x+4 =0 \qquad /-4 \\
4 x= -4 \qquad /:4 \\
x=\displaystyle\frac{-4}{4}\\
x=-1
\\ \underline{x_3=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-1)=4>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-1/-2)} \\
\\
\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\
\begin{array}{|c|c|c|c||}
\hline
& x < &-1&< x\\
\hline
f'(x)&-&0&+\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-1;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\
\\
\bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-2}^{0}\left( 2x^2+4x\right)dx=\left[ \frac{2}{3}x^3+2x^2\right]_{-2}^{0}
\\ =\left(\frac{2}{3}\cdot 0^{3}+2\cdot 0^{2}\right)-\left(\frac{2}{3}\cdot (-2)^{3}+2\cdot (-2)^{2}\right)
\\ =\left(0\right)-\left(2\frac{2}{3}\right)=-2\frac{2}{3}
\\ \\
\end{array}$