Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion
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Beispiel Nr: 14
$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich}
\\ \text{Grenzwerte}
\\ \text{Symmetrie}
\\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse}
\\ \text{Ableitungen - Stammfunktion}
\\ \text{Extremwerte - Monotonie}
\\ \text{Wendepunkte - Krümmung}
\\ \text{Stammfunktion}
\\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)=-\frac{1}{2}x^2+2x+5 \ <br/>
\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-\frac{1}{2}x^2+2x+5=-\frac{1}{2}(x+1,74)(x-5,74)\\
f'\left(x\right)=-1x+2\\
f''\left(x\right)=-1\\
F(x)=\int_{}^{}(-\frac{1}{2}x^2+2x+5)dx=-\frac{1}{6}x^3+x^2+5x+c
\\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty,7] \\
\\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\
f(x)=x^2(-\frac{1}{2}+\dfrac{2}{x}+\dfrac{5}{x^2}) \\
\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{1}{2}\cdot \infty^2]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{1}{2}\cdot (-\infty)^2]=-\infty \\
\\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-\frac{1}{2}\cdot (-x)^{2}+2\cdot (-x)+5 \\
\text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung }
\\
\\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-\frac{1}{2}x^2+2x+5 = 0 \\ \\
\\
-\frac{1}{2}x^{2}+2x+5 =0
\\
x_{1/2}=\displaystyle\frac{-2 \pm\sqrt{2^{2}-4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot 5}}{2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)}
\\
x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm\sqrt{14}}{-1}
\\
x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm3,74}{-1}
\\
x_{1}=\displaystyle \frac{-2 +3,74}{-1} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-2 -3,74}{-1}
\\
x_{1}=-1,74 \qquad x_{2}=5,74
\\ \underline{x_1=-1,74; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=5,74; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\
\\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||}
\hline
& x < &-1,74&< x <&5,74&< x\\
\hline
f(x)&-&0&+&0&-\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-1,74;5,74[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;-1,74[\quad \cup \quad]5,74;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\
\\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-1x+2 = 0 \\ \\
-1 x+2 =0 \qquad /-2 \\
-1 x= -2 \qquad /:\left(-1\right) \\
x=\displaystyle\frac{-2}{-1}\\
x=2
\\ \underline{x_3=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(2)=-1 \\
f''(2)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (2/7)} \\
\\
\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\
\begin{array}{|c|c|c|c||}
\hline
& x < &2&< x\\
\hline
f'(x)&+&0&-\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;2[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\
\underline{\quad x \in ]2;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\
\\
\bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-1,74}^{5,74}\left(-\frac{1}{2}x^2+2x+5\right)dx=\left[-\frac{1}{6}x^3+x^2+5x\right]_{-1,74}^{5,74}
\\ =\left(-\frac{1}{6}\cdot 5,74^{3}+1\cdot 5,74^{2}+5\cdot 5,74\right)-\left(-\frac{1}{6}\cdot (-1,74)^{3}+1\cdot (-1,74)^{2}+5\cdot (-1,74)\right)
\\ =\left(30,1\right)-\left(-4,79\right)=34,9
\\ \\
\end{array}$