Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion
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Beispiel Nr: 16
$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich}
\\ \text{Grenzwerte}
\\ \text{Symmetrie}
\\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse}
\\ \text{Ableitungen - Stammfunktion}
\\ \text{Extremwerte - Monotonie}
\\ \text{Wendepunkte - Krümmung}
\\ \text{Stammfunktion}
\\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)= x^2+6x-2 \ <br/>
\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= x^2+6x-2=(x+6,32)(x-0,317)\\
f'\left(x\right)= 2x+6\\
f''\left(x\right)= 2\\
F(x)=\int_{}^{}( x^2+6x-2)dx= \frac{1}{3}x^3+3x^2-2x+c
\\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-11),\infty[ \\
\\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\
f(x)=x^2( 1+\dfrac{6}{x}-\dfrac{2}{x^2}) \\
\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot \infty^2]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot (-\infty)^2]=\infty \\
\\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=1\cdot (-x)^{2}+6\cdot (-x)-2 \\
\text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung }
\\
\\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= x^2+6x-2 = 0 \\ \\
\\
1x^{2}+6x-2 =0
\\
x_{1/2}=\displaystyle\frac{-6 \pm\sqrt{6^{2}-4\cdot 1 \cdot \left(-2\right)}}{2\cdot1}
\\
x_{1/2}=\displaystyle \frac{-6 \pm\sqrt{44}}{2}
\\
x_{1/2}=\displaystyle \frac{-6 \pm6,63}{2}
\\
x_{1}=\displaystyle \frac{-6 +6,63}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-6 -6,63}{2}
\\
x_{1}=0,317 \qquad x_{2}=-6,32
\\ \underline{x_1=-6,32; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0,317; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\
\\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||}
\hline
& x < &-6,32&< x <&0,317&< x\\
\hline
f(x)&+&0&-&0&+\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;-6,32[\quad \cup \quad]0,317;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-6,32;0,317[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\
\\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 2x+6 = 0 \\ \\
2 x+6 =0 \qquad /-6 \\
2 x= -6 \qquad /:2 \\
x=\displaystyle\frac{-6}{2}\\
x=-3
\\ \underline{x_3=-3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-3)=2>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-3/-11)} \\
\\
\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\
\begin{array}{|c|c|c|c||}
\hline
& x < &-3&< x\\
\hline
f'(x)&-&0&+\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-3;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;-3[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\
\\
\bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-6,32}^{0,317}\left( x^2+6x-2\right)dx=\left[ \frac{1}{3}x^3+3x^2-2x\right]_{-6,32}^{0,317}
\\ =\left(\frac{1}{3}\cdot 0,317^{3}+3\cdot 0,317^{2}-2\cdot 0,317\right)-\left(\frac{1}{3}\cdot (-6,32)^{3}+3\cdot (-6,32)^{2}-2\cdot (-6,32)\right)
\\ =\left(-0,322\right)-\left(48,3\right)=-48,6
\\ \\
\end{array}$