Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
Beispiel Nr: 18
Gesucht:Definitions- und WertebereichGrenzwerteSymmetrieNullstellen - Schnittpunkt mit der x-AchseAbleitungen - StammfunktionExtremwerte - MonotonieWendepunkte - KrümmungStammfunktionEingeschlossene Fläche mit der x-AchseFunktion:f(x)=−849x2−2449x+13149 <br/>∙Funktion/Ableitungen/Stammfunktionf(x)=−849x2−2449x+13149=−849(x+5)(x−2)f′(x)=−1649x−2449f″(x)=−1649F(x)=∫(−849x2−2449x+13149)dx=−0,0544x3−1249x2+13149x+c∙Definitions- und Wertebereich:D=RW=]−∞,2]∙Grenzwerte:f(x)=x2(−849−2449x+13149x2)limx→∞f(x)=[−849⋅∞2]=−∞limx→−∞f(x)=[−849⋅(−∞)2]=−∞∙Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse f(−x)=−849⋅(−x)2−2449⋅(−x)+13149keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung ∙Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:f(x)=−849x2−2449x+13149=0−849x2−2449x+13149=0x1/2=+2449±(−2449)2−4⋅(−849)⋅131492⋅(−849)x1/2=+2449±11549−1649x1/2=2449±117−1649x1=2449+117−1649x2=2449−117−1649x1=−5x2=2x1=−5;1-fache Nullstelle―x2=2;1-fache Nullstelle―∙Vorzeichentabelle:x<−5<x<2<xf(x)−0+0−x∈]−5;2[f(x)>0oberhalb der x-Achse―x∈]−∞;−5[∪]2;∞[f(x)<0unterhalb der x-Achse―∙Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f′(x)=−1649x−2449=0−1649x−2449=0/+2449−1649x=2449/:(−1649)x=2449−1649x=−112x3=−112;1-fache Nullstelle―f″(−112)=−1649f″(−112)<0⇒Hochpunkt:(−112/2)―∙Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) x<−112<xf′(x)+0−x∈]−∞;−112[f′(x)>0streng monoton steigend ―x∈]−112;∞[f′(x)<0streng monoton fallend ―∙Eingeschlossene Fläche mit der x-AchseA=∫−52(−849x2−2449x+13149)dx=[−0,0544x3−1249x2+13149x]−52=(−0,0544⋅23−1249⋅22+13149⋅2)−(−0,0544⋅(−5)3−1249⋅(−5)2+13149⋅(−5))=(1,85)−(−7,48)=913