Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion
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Beispiel Nr: 28
$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich}
\\ \text{Grenzwerte}
\\ \text{Symmetrie}
\\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse}
\\ \text{Ableitungen - Stammfunktion}
\\ \text{Extremwerte - Monotonie}
\\ \text{Wendepunkte - Krümmung}
\\ \text{Stammfunktion}
\\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)=-\frac{4}{9}x^2+\frac{4}{9}x+\frac{8}{9} \ <br/>
\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-\frac{4}{9}x^2+\frac{4}{9}x+\frac{8}{9}=-\frac{4}{9}(x+1)(x-2)\\
f'\left(x\right)=-\frac{8}{9}x+\frac{4}{9}\\
f''\left(x\right)=-\frac{8}{9}\\
F(x)=\int_{}^{}(-\frac{4}{9}x^2+\frac{4}{9}x+\frac{8}{9})dx=-\frac{4}{27}x^3+\frac{2}{9}x^2+\frac{8}{9}x+c
\\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty,1] \\
\\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\
f(x)=x^2(-\frac{4}{9}+\dfrac{\frac{4}{9}}{x}+\dfrac{\frac{8}{9}}{x^2}) \\
\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{4}{9}\cdot \infty^2]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{4}{9}\cdot (-\infty)^2]=-\infty \\
\\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-\frac{4}{9}\cdot (-x)^{2}+\frac{4}{9}\cdot (-x)+\frac{8}{9} \\
\text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung }
\\
\\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-\frac{4}{9}x^2+\frac{4}{9}x+\frac{8}{9} = 0 \\ \\
\\
-\frac{4}{9}x^{2}+\frac{4}{9}x+\frac{8}{9} =0
\\
x_{1/2}=\displaystyle\frac{-\frac{4}{9} \pm\sqrt{\left(\frac{4}{9}\right)^{2}-4\cdot \left(-\frac{4}{9}\right) \cdot \frac{8}{9}}}{2\cdot\left(-\frac{4}{9}\right)}
\\
x_{1/2}=\displaystyle \frac{-\frac{4}{9} \pm\sqrt{1\frac{7}{9}}}{-\frac{8}{9}}
\\
x_{1/2}=\displaystyle \frac{-\frac{4}{9} \pm1\frac{1}{3}}{-\frac{8}{9}}
\\
x_{1}=\displaystyle \frac{-\frac{4}{9} +1\frac{1}{3}}{-\frac{8}{9}} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-\frac{4}{9} -1\frac{1}{3}}{-\frac{8}{9}}
\\
x_{1}=-1 \qquad x_{2}=2
\\ \underline{x_1=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\
\\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||}
\hline
& x < &-1&< x <&2&< x\\
\hline
f(x)&-&0&+&0&-\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-1;2[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\
\\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-\frac{8}{9}x+\frac{4}{9} = 0 \\ \\
-\frac{8}{9} x+\frac{4}{9} =0 \qquad /-\frac{4}{9} \\
-\frac{8}{9} x= -\frac{4}{9} \qquad /:\left(-\frac{8}{9}\right) \\
x=\displaystyle\frac{-\frac{4}{9}}{-\frac{8}{9}}\\
x=\frac{1}{2}
\\ \underline{x_3=\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(\frac{1}{2})=-\frac{8}{9} \\
f''(\frac{1}{2})<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (\frac{1}{2}/1)} \\
\\
\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\
\begin{array}{|c|c|c|c||}
\hline
& x < &\frac{1}{2}&< x\\
\hline
f'(x)&+&0&-\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;\frac{1}{2}[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\
\underline{\quad x \in ]\frac{1}{2};\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\
\\
\bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-1}^{2}\left(-\frac{4}{9}x^2+\frac{4}{9}x+\frac{8}{9}\right)dx=\left[-\frac{4}{27}x^3+\frac{2}{9}x^2+\frac{8}{9}x\right]_{-1}^{2}
\\ =\left(-\frac{4}{27}\cdot 2^{3}+\frac{2}{9}\cdot 2^{2}+\frac{8}{9}\cdot 2\right)-\left(-\frac{4}{27}\cdot (-1)^{3}+\frac{2}{9}\cdot (-1)^{2}+\frac{8}{9}\cdot (-1)\right)
\\ =\left(1\frac{13}{27}\right)-\left(-\frac{14}{27}\right)=2
\\ \\
\end{array}$