Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion
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Beispiel Nr: 34
$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich}
\\ \text{Grenzwerte}
\\ \text{Symmetrie}
\\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse}
\\ \text{Ableitungen - Stammfunktion}
\\ \text{Extremwerte - Monotonie}
\\ \text{Wendepunkte - Krümmung}
\\ \text{Stammfunktion}
\\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)= 4x^2-8x \ <br/>
\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= 4x^2-8x=4x(x-2)\\
f'\left(x\right)= 8x-8\\
f''\left(x\right)= 8\\
F(x)=\int_{}^{}( 4x^2-8x)dx= 1\frac{1}{3}x^3-4x^2+c
\\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-4),\infty[ \\
\\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\
f(x)=x^2( 4-\dfrac{8}{x}) \\
\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[4\cdot \infty^2]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[4\cdot (-\infty)^2]=\infty \\
\\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=4\cdot (-x)^{2}-8\cdot (-x) \\
\text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung }
\\
\\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= 4x^2-8x = 0 \\ x( 4x-8)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 4x-8=0\\
4 x-8 =0 \qquad /+8 \\
4 x= 8 \qquad /:4 \\
x=\displaystyle\frac{8}{4}\\
x=2
\\ \underline{x_1=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\
\\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||}
\hline
& x < &0&< x <&2&< x\\
\hline
f(x)&+&0&-&0&+\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\
\underline{\quad x \in ]0;2[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\
\\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 8x-8 = 0 \\ \\
8 x-8 =0 \qquad /+8 \\
8 x= 8 \qquad /:8 \\
x=\displaystyle\frac{8}{8}\\
x=1
\\ \underline{x_3=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(1)=8>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (1/-4)} \\
\\
\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\
\begin{array}{|c|c|c|c||}
\hline
& x < &1&< x\\
\hline
f'(x)&-&0&+\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]1;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;1[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\
\\
\bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{0}^{2}\left( 4x^2-8x\right)dx=\left[ 1\frac{1}{3}x^3-4x^2\right]_{0}^{2}
\\ =\left(1\frac{1}{3}\cdot 2^{3}-4\cdot 2^{2}\right)-\left(1\frac{1}{3}\cdot 0^{3}-4\cdot 0^{2}\right)
\\ =\left(-5\frac{1}{3}\right)-\left(0\right)=-5\frac{1}{3}
\\ \\
\end{array}$