Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion
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Beispiel Nr: 36
$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich}
\\ \text{Grenzwerte}
\\ \text{Symmetrie}
\\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse}
\\ \text{Ableitungen - Stammfunktion}
\\ \text{Extremwerte - Monotonie}
\\ \text{Wendepunkte - Krümmung}
\\ \text{Stammfunktion}
\\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)= \frac{8}{27}x^2+2\frac{2}{3}x \ <br/>
\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= \frac{8}{27}x^2+2\frac{2}{3}x=\frac{8}{27}(x+9)x\\
f'\left(x\right)= \frac{16}{27}x+2\frac{2}{3}\\
f''\left(x\right)= \frac{16}{27}\\
F(x)=\int_{}^{}( \frac{8}{27}x^2+2\frac{2}{3}x)dx= \frac{8}{81}x^3+1\frac{1}{3}x^2+c
\\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-6),\infty[ \\
\\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\
f(x)=x^2( \frac{8}{27}+\dfrac{2\frac{2}{3}}{x}) \\
\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[\frac{8}{27}\cdot \infty^2]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[\frac{8}{27}\cdot (-\infty)^2]=\infty \\
\\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=\frac{8}{27}\cdot (-x)^{2}+2\frac{2}{3}\cdot (-x) \\
\text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung }
\\
\\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= \frac{8}{27}x^2+2\frac{2}{3}x = 0 \\ x( \frac{8}{27}x+2\frac{2}{3})=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad \frac{8}{27}x+2\frac{2}{3}=0\\
\frac{8}{27} x+2\frac{2}{3} =0 \qquad /-2\frac{2}{3} \\
\frac{8}{27} x= -2\frac{2}{3} \qquad /:\frac{8}{27} \\
x=\displaystyle\frac{-2\frac{2}{3}}{\frac{8}{27}}\\
x=-9
\\ \underline{x_1=-9; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\
\\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||}
\hline
& x < &-9&< x <&0&< x\\
\hline
f(x)&+&0&-&0&+\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;-9[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-9;0[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\
\\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= \frac{16}{27}x+2\frac{2}{3} = 0 \\ \\
\frac{16}{27} x+2\frac{2}{3} =0 \qquad /-2\frac{2}{3} \\
\frac{16}{27} x= -2\frac{2}{3} \qquad /:\frac{16}{27} \\
x=\displaystyle\frac{-2\frac{2}{3}}{\frac{16}{27}}\\
x=-4\frac{1}{2}
\\ \underline{x_3=-4\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-4\frac{1}{2})=\frac{16}{27}>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-4\frac{1}{2}/-6)} \\
\\
\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\
\begin{array}{|c|c|c|c||}
\hline
& x < &-4\frac{1}{2}&< x\\
\hline
f'(x)&-&0&+\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-4\frac{1}{2};\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;-4\frac{1}{2}[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\
\\
\bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-9}^{0}\left( \frac{8}{27}x^2+2\frac{2}{3}x\right)dx=\left[ \frac{8}{81}x^3+1\frac{1}{3}x^2\right]_{-9}^{0}
\\ =\left(\frac{8}{81}\cdot 0^{3}+1\frac{1}{3}\cdot 0^{2}\right)-\left(\frac{8}{81}\cdot (-9)^{3}+1\frac{1}{3}\cdot (-9)^{2}\right)
\\ =\left(0\right)-\left(36\right)=-36
\\ \\
\end{array}$