Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion
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Beispiel Nr: 43
$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich}
\\ \text{Grenzwerte}
\\ \text{Symmetrie}
\\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse}
\\ \text{Ableitungen - Stammfunktion}
\\ \text{Extremwerte - Monotonie}
\\ \text{Wendepunkte - Krümmung}
\\ \text{Stammfunktion}
\\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)=-\frac{1}{6}x^3+2x \ <br/>
\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-\frac{1}{6}x^3+2x=-\frac{1}{6}(x+3,46)x(x-3,46)\\
f'\left(x\right)=-\frac{1}{2}x^2+2=-\frac{1}{2}(x+2)(x-2)\\
f''\left(x\right)=-1x=-1x\\
f'''\left(x\right)=-1
\\
F(x)=\int_{}^{}(-\frac{1}{6}x^3+2x)dx=-\frac{1}{24}x^4+x^2+c
\\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\
\\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\
f(x)=x^3(-\frac{1}{6}+\dfrac{2}{x^2}) \\
\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{1}{6}\cdot \infty^3]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{1}{6}\cdot (-\infty)^3]=\infty \\
\\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-\frac{1}{6}\cdot (-x)^{3}+2\cdot (-x) \\
f\left(-x\right)=-\left(-\frac{1}{6}\cdot x^{3}+2\cdot x\right) \\
f\left(-x\right)= -f\left(x\right) \rightarrow \text{Symmetrie zum Ursprung:}
\\
\\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-\frac{1}{6}x^3+2x = 0 \\ x(-\frac{1}{6}x^2+2)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-\frac{1}{6}x^2+2=0\\
-\frac{1}{6}x^2+2 =0 \qquad /-2 \\
-\frac{1}{6}x^2= -2 \qquad /:\left(-\frac{1}{6}\right) \\
x^2=\displaystyle\frac{-2}{-\frac{1}{6}} \\
x=\pm\sqrt{12} \\
x_1=3,46 \qquad x_2=-3,46
\\ \underline{x_1=-3,46; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=3,46; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\
\\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||}
\hline
& x < &-3,46&< x <&0&< x <&3,46&< x\\
\hline
f(x)&+&0&-&0&+&0&-\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;-3,46[\quad \cup \quad]0;3,46[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-3,46;0[\quad \cup \quad]3,46;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\
\\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-\frac{1}{2}x^2+2 = 0 \\ \\
-\frac{1}{2}x^2+2 =0 \qquad /-2 \\
-\frac{1}{2}x^2= -2 \qquad /:\left(-\frac{1}{2}\right) \\
x^2=\displaystyle\frac{-2}{-\frac{1}{2}} \\
x=\pm\sqrt{4} \\
x_1=2 \qquad x_2=-2
\\ \underline{x_4=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-2)=2>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-2/-2\frac{2}{3})} \\
f''(2)=-2 \\
f''(2)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (2/2\frac{2}{3})} \\
\\
\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||}
\hline
& x < &-2&< x <&2&< x\\
\hline
f'(x)&-&0&+&0&-\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-2;2[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}
\\
\\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)=-1x = 0 \\ x=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_6=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(0)=0\\
f'''(0) \neq 0 \Rightarrow \\
\underline{\text{Wendepunkt:} (0/0)}\\
\bullet\text{Kruemmung} \\
\begin{array}{|c|c|c|c||}
\hline
& x < &0&< x\\
\hline
f''(x)&+&0&-\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\
\underline{\quad x \in ]0;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\
\\
\bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-3,46}^{0}\left(-\frac{1}{6}x^3+2x\right)dx=\left[-\frac{1}{24}x^4+x^2\right]_{-3,46}^{0}
\\ =\left(-\frac{1}{24}\cdot 0^{4}+1\cdot 0^{2}\right)-\left(-\frac{1}{24}\cdot (-3,46)^{4}+1\cdot (-3,46)^{2}\right)
\\ =\left(0\right)-\left(6\right)=-6
\\ A=\int_{0}^{3,46}\left(-\frac{1}{6}x^3+2x\right)dx=\left[-\frac{1}{24}x^4+x^2\right]_{0}^{3,46}
\\ =\left(-\frac{1}{24}\cdot 3,46^{4}+1\cdot 3,46^{2}\right)-\left(-\frac{1}{24}\cdot 0^{4}+1\cdot 0^{2}\right)
\\ =\left(6\right)-\left(0\right)=6
\\ \\
\end{array}$