Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion
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Beispiel Nr: 56
$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich}
\\ \text{Grenzwerte}
\\ \text{Symmetrie}
\\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse}
\\ \text{Ableitungen - Stammfunktion}
\\ \text{Extremwerte - Monotonie}
\\ \text{Wendepunkte - Krümmung}
\\ \text{Stammfunktion}
\\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)=-6\frac{3}{4}x^3-13\frac{1}{2}x^2 \ <br/>
\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-6\frac{3}{4}x^3-13\frac{1}{2}x^2=-6\frac{3}{4}(x+2)x^2\\
f'\left(x\right)=-20\frac{1}{4}x^2-27x=-20\frac{1}{4}(x+1\frac{1}{3})x\\
f''\left(x\right)=-40\frac{1}{2}x-27=-40\frac{1}{2}(x+\frac{2}{3})\\
f'''\left(x\right)=-40\frac{1}{2}
\\
F(x)=\int_{}^{}(-6\frac{3}{4}x^3-13\frac{1}{2}x^2)dx=-1\frac{11}{16}x^4-4\frac{1}{2}x^3+c
\\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\
\\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\
f(x)=x^3(-6\frac{3}{4}-\dfrac{13\frac{1}{2}}{x}) \\
\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-6\frac{3}{4}\cdot \infty^3]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-6\frac{3}{4}\cdot (-\infty)^3]=\infty \\
\\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-6\frac{3}{4}\cdot (-x)^{3}-13\frac{1}{2}\cdot (-x)^{2} \\
\text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung }
\\
\\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-6\frac{3}{4}x^3-13\frac{1}{2}x^2 = 0 \\ x^2(-6\frac{3}{4}x-13\frac{1}{2})=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-6\frac{3}{4}x-13\frac{1}{2}=0\\
-6\frac{3}{4} x-13\frac{1}{2} =0 \qquad /+13\frac{1}{2} \\
-6\frac{3}{4} x= 13\frac{1}{2} \qquad /:\left(-6\frac{3}{4}\right) \\
x=\displaystyle\frac{13\frac{1}{2}}{-6\frac{3}{4}}\\
x=-2
\\ \underline{x_1=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\
\\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||}
\hline
& x < &-2&< x <&0&< x\\
\hline
f(x)&+&0&-&0&-\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-2;0[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\
\\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-20\frac{1}{4}x^2-27x = 0 \\ x(-20\frac{1}{4}x-27)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-20\frac{1}{4}x-27=0\\
-20\frac{1}{4} x-27 =0 \qquad /+27 \\
-20\frac{1}{4} x= 27 \qquad /:\left(-20\frac{1}{4}\right) \\
x=\displaystyle\frac{27}{-20\frac{1}{4}}\\
x=-1\frac{1}{3}
\\ \underline{x_3=-1\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-1\frac{1}{3})=27>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-1\frac{1}{3}/-8)} \\
f''(0)=-27 \\
f''(0)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (0/0)} \\
\\
\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||}
\hline
& x < &-1\frac{1}{3}&< x <&0&< x\\
\hline
f'(x)&-&0&+&0&-\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-1\frac{1}{3};0[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;-1\frac{1}{3}[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}
\\
\\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)=-40\frac{1}{2}x-27 = 0 \\ \\
-40\frac{1}{2} x-27 =0 \qquad /+27 \\
-40\frac{1}{2} x= 27 \qquad /:\left(-40\frac{1}{2}\right) \\
x=\displaystyle\frac{27}{-40\frac{1}{2}}\\
x=-\frac{2}{3}
\\ \underline{x_5=-\frac{2}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-\frac{2}{3})=-4\\
f'''(-\frac{2}{3}) \neq 0 \Rightarrow \\
\underline{\text{Wendepunkt:} (-\frac{2}{3}/-4)}\\
\bullet\text{Kruemmung} \\
\begin{array}{|c|c|c|c||}
\hline
& x < &-\frac{2}{3}&< x\\
\hline
f''(x)&+&0&-\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;-\frac{2}{3}[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\frac{2}{3};\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\
\\
\bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-2}^{0}\left(-6\frac{3}{4}x^3-13\frac{1}{2}x^2\right)dx=\left[-1\frac{11}{16}x^4-4\frac{1}{2}x^3\right]_{-2}^{0}
\\ =\left(-1\frac{11}{16}\cdot 0^{4}-4\frac{1}{2}\cdot 0^{3}\right)-\left(-1\frac{11}{16}\cdot (-2)^{4}-4\frac{1}{2}\cdot (-2)^{3}\right)
\\ =\left(0\right)-\left(9\right)=-9
\\ \\
\end{array}$