Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion
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Beispiel Nr: 58
$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich}
\\ \text{Grenzwerte}
\\ \text{Symmetrie}
\\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse}
\\ \text{Ableitungen - Stammfunktion}
\\ \text{Extremwerte - Monotonie}
\\ \text{Wendepunkte - Krümmung}
\\ \text{Stammfunktion}
\\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)=-\frac{27}{28}x^3-\frac{27}{28}x^2+5\frac{11}{14}x \ <br/>
\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-\frac{27}{28}x^3-\frac{27}{28}x^2+5\frac{11}{14}x=-\frac{27}{28}(x+3)x(x-2)\\
f'\left(x\right)=-2\frac{25}{28}x^2-1\frac{13}{14}x+5\frac{11}{14}=-2\frac{25}{28}(x+1,79)(x-1,12)\\
f''\left(x\right)=-5\frac{11}{14}x-1\frac{13}{14}=-5\frac{11}{14}(x+\frac{1}{3})\\
f'''\left(x\right)=-5\frac{11}{14}
\\
F(x)=\int_{}^{}(-\frac{27}{28}x^3-\frac{27}{28}x^2+5\frac{11}{14}x)dx=-\frac{27}{112}x^4-\frac{9}{28}x^3+2\frac{25}{28}x^2+c
\\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\
\\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\
f(x)=x^3(-\frac{27}{28}-\dfrac{\frac{27}{28}}{x}+\dfrac{5\frac{11}{14}}{x^2}) \\
\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{27}{28}\cdot \infty^3]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{27}{28}\cdot (-\infty)^3]=\infty \\
\\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-\frac{27}{28}\cdot (-x)^{3}-\frac{27}{28}\cdot (-x)^{2}+5\frac{11}{14}\cdot (-x) \\
\text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung }
\\
\\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-\frac{27}{28}x^3-\frac{27}{28}x^2+5\frac{11}{14}x = 0 \\ x(-\frac{27}{28}x^2-\frac{27}{28}x+5\frac{11}{14})=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-\frac{27}{28}x^2-\frac{27}{28}x+5\frac{11}{14}=0\\
\\
-\frac{27}{28}x^{2}-\frac{27}{28}x+5\frac{11}{14} =0
\\
x_{1/2}=\displaystyle\frac{+\frac{27}{28} \pm\sqrt{\left(-\frac{27}{28}\right)^{2}-4\cdot \left(-\frac{27}{28}\right) \cdot 5\frac{11}{14}}}{2\cdot\left(-\frac{27}{28}\right)}
\\
x_{1/2}=\displaystyle \frac{+\frac{27}{28} \pm\sqrt{23,2}}{-1\frac{13}{14}}
\\
x_{1/2}=\displaystyle \frac{\frac{27}{28} \pm4\frac{23}{28}}{-1\frac{13}{14}}
\\
x_{1}=\displaystyle \frac{\frac{27}{28} +4\frac{23}{28}}{-1\frac{13}{14}} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{\frac{27}{28} -4\frac{23}{28}}{-1\frac{13}{14}}
\\
x_{1}=-3 \qquad x_{2}=2
\\ \underline{x_1=-3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\
\\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||}
\hline
& x < &-3&< x <&0&< x <&2&< x\\
\hline
f(x)&+&0&-&0&+&0&-\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;-3[\quad \cup \quad]0;2[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-3;0[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\
\\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-2\frac{25}{28}x^2-1\frac{13}{14}x+5\frac{11}{14} = 0 \\ \\
\\
-2\frac{25}{28}x^{2}-1\frac{13}{14}x+5\frac{11}{14} =0
\\
x_{1/2}=\displaystyle\frac{+1\frac{13}{14} \pm\sqrt{\left(-1\frac{13}{14}\right)^{2}-4\cdot \left(-2\frac{25}{28}\right) \cdot 5\frac{11}{14}}}{2\cdot\left(-2\frac{25}{28}\right)}
\\
x_{1/2}=\displaystyle \frac{+1\frac{13}{14} \pm\sqrt{70,7}}{-5\frac{11}{14}}
\\
x_{1/2}=\displaystyle \frac{1\frac{13}{14} \pm8,41}{-5\frac{11}{14}}
\\
x_{1}=\displaystyle \frac{1\frac{13}{14} +8,41}{-5\frac{11}{14}} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{1\frac{13}{14} -8,41}{-5\frac{11}{14}}
\\
x_{1}=-1,79 \qquad x_{2}=1,12
\\ \underline{x_4=-1,79; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=1,12; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-1,79)=8,41>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-1,79/-7,92)} \\
f''(1,12)=-8,41 \\
f''(1,12)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (1,12/3,92)} \\
\\
\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||}
\hline
& x < &-1,79&< x <&1,12&< x\\
\hline
f'(x)&-&0&+&0&-\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-1,79;1,12[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;-1,79[\quad \cup \quad]1,12;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}
\\
\\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)=-5\frac{11}{14}x-1\frac{13}{14} = 0 \\ \\
-5\frac{11}{14} x-1\frac{13}{14} =0 \qquad /+1\frac{13}{14} \\
-5\frac{11}{14} x= 1\frac{13}{14} \qquad /:\left(-5\frac{11}{14}\right) \\
x=\displaystyle\frac{1\frac{13}{14}}{-5\frac{11}{14}}\\
x=-\frac{1}{3}
\\ \underline{x_6=-\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-\frac{1}{3})=-2\\
f'''(-\frac{1}{3}) \neq 0 \Rightarrow \\
\underline{\text{Wendepunkt:} (-\frac{1}{3}/-2)}\\
\bullet\text{Kruemmung} \\
\begin{array}{|c|c|c|c||}
\hline
& x < &-\frac{1}{3}&< x\\
\hline
f''(x)&+&0&-\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;-\frac{1}{3}[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\frac{1}{3};\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\
\\
\bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-3}^{0}\left(-\frac{27}{28}x^3-\frac{27}{28}x^2+5\frac{11}{14}x\right)dx=\left[-\frac{27}{112}x^4-\frac{9}{28}x^3+2\frac{25}{28}x^2\right]_{-3}^{0}
\\ =\left(-\frac{27}{112}\cdot 0^{4}-\frac{9}{28}\cdot 0^{3}+2\frac{25}{28}\cdot 0^{2}\right)-\left(-\frac{27}{112}\cdot (-3)^{4}-\frac{9}{28}\cdot (-3)^{3}+2\frac{25}{28}\cdot (-3)^{2}\right)
\\ =\left(0\right)-\left(15\frac{3}{16}\right)=-15\frac{3}{16}
\\ A=\int_{0}^{2}\left(-\frac{27}{28}x^3-\frac{27}{28}x^2+5\frac{11}{14}x\right)dx=\left[-\frac{27}{112}x^4-\frac{9}{28}x^3+2\frac{25}{28}x^2\right]_{0}^{2}
\\ =\left(-\frac{27}{112}\cdot 2^{4}-\frac{9}{28}\cdot 2^{3}+2\frac{25}{28}\cdot 2^{2}\right)-\left(-\frac{27}{112}\cdot 0^{4}-\frac{9}{28}\cdot 0^{3}+2\frac{25}{28}\cdot 0^{2}\right)
\\ =\left(5\frac{1}{7}\right)-\left(0\right)=5\frac{1}{7}
\\ \\
\end{array}$