Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
Beispiel Nr: 60
$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich}
\\ \text{Grenzwerte}
\\ \text{Symmetrie}
\\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse}
\\ \text{Ableitungen - Stammfunktion}
\\ \text{Extremwerte - Monotonie}
\\ \text{Wendepunkte - Krümmung}
\\ \text{Stammfunktion}
\\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)=-5\frac{1}{16}x^3+10\frac{1}{8}x^2 \ <br/>
\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-5\frac{1}{16}x^3+10\frac{1}{8}x^2=-5\frac{1}{16}x^2(x-2)\\
f'\left(x\right)=-15\frac{3}{16}x^2+20\frac{1}{4}x=-15\frac{3}{16}x(x-1\frac{1}{3})\\
f''\left(x\right)=-30\frac{3}{8}x+20\frac{1}{4}=-30\frac{3}{8}(x-\frac{2}{3})\\
f'''\left(x\right)=-30\frac{3}{8}
\\
F(x)=\int_{}^{}(-5\frac{1}{16}x^3+10\frac{1}{8}x^2)dx=-1\frac{17}{64}x^4+3\frac{3}{8}x^3+c
\\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\
\\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\
f(x)=x^3(-5\frac{1}{16}+\dfrac{10\frac{1}{8}}{x}) \\
\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-5\frac{1}{16}\cdot \infty^3]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-5\frac{1}{16}\cdot (-\infty)^3]=\infty \\
\\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-5\frac{1}{16}\cdot (-x)^{3}+10\frac{1}{8}\cdot (-x)^{2} \\
\text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung }
\\
\\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-5\frac{1}{16}x^3+10\frac{1}{8}x^2 = 0 \\ x^2(-5\frac{1}{16}x+10\frac{1}{8})=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-5\frac{1}{16}x+10\frac{1}{8}=0\\
-5\frac{1}{16} x+10\frac{1}{8} =0 \qquad /-10\frac{1}{8} \\
-5\frac{1}{16} x= -10\frac{1}{8} \qquad /:\left(-5\frac{1}{16}\right) \\
x=\displaystyle\frac{-10\frac{1}{8}}{-5\frac{1}{16}}\\
x=2
\\ \underline{x_1=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\
\\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||}
\hline
& x < &0&< x <&2&< x\\
\hline
f(x)&+&0&+&0&-\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0;2[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\
\underline{\quad x \in ]2;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\
\\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-15\frac{3}{16}x^2+20\frac{1}{4}x = 0 \\ x(-15\frac{3}{16}x+20\frac{1}{4})=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-15\frac{3}{16}x+20\frac{1}{4}=0\\
-15\frac{3}{16} x+20\frac{1}{4} =0 \qquad /-20\frac{1}{4} \\
-15\frac{3}{16} x= -20\frac{1}{4} \qquad /:\left(-15\frac{3}{16}\right) \\
x=\displaystyle\frac{-20\frac{1}{4}}{-15\frac{3}{16}}\\
x=1\frac{1}{3}
\\ \underline{x_3=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=1\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=20\frac{1}{4}>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (0/0)} \\
f''(1\frac{1}{3})=-20\frac{1}{4} \\
f''(1\frac{1}{3})<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (1\frac{1}{3}/6)} \\
\\
\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||}
\hline
& x < &0&< x <&1\frac{1}{3}&< x\\
\hline
f'(x)&-&0&+&0&-\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]0;1\frac{1}{3}[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]1\frac{1}{3};\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}
\\
\\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)=-30\frac{3}{8}x+20\frac{1}{4} = 0 \\ \\
-30\frac{3}{8} x+20\frac{1}{4} =0 \qquad /-20\frac{1}{4} \\
-30\frac{3}{8} x= -20\frac{1}{4} \qquad /:\left(-30\frac{3}{8}\right) \\
x=\displaystyle\frac{-20\frac{1}{4}}{-30\frac{3}{8}}\\
x=\frac{2}{3}
\\ \underline{x_5=\frac{2}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(\frac{2}{3})=3\\
f'''(\frac{2}{3}) \neq 0 \Rightarrow \\
\underline{\text{Wendepunkt:} (\frac{2}{3}/3)}\\
\bullet\text{Kruemmung} \\
\begin{array}{|c|c|c|c||}
\hline
& x < &\frac{2}{3}&< x\\
\hline
f''(x)&+&0&-\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;\frac{2}{3}[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\
\underline{\quad x \in ]\frac{2}{3};\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\
\\
\bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{0}^{2}\left(-5\frac{1}{16}x^3+10\frac{1}{8}x^2\right)dx=\left[-1\frac{17}{64}x^4+3\frac{3}{8}x^3\right]_{0}^{2}
\\ =\left(-1\frac{17}{64}\cdot 2^{4}+3\frac{3}{8}\cdot 2^{3}\right)-\left(-1\frac{17}{64}\cdot 0^{4}+3\frac{3}{8}\cdot 0^{3}\right)
\\ =\left(6\frac{3}{4}\right)-\left(0\right)=6\frac{3}{4}
\\ \\
\end{array}$