$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)= 40\frac{1}{2}x^3+81x^2+40\frac{1}{2}x \ <br/> \bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= 40\frac{1}{2}x^3+81x^2+40\frac{1}{2}x=40\frac{1}{2}(x+1)^2x\\ f'\left(x\right)= 121\frac{1}{2}x^2+162x+40\frac{1}{2}=121\frac{1}{2}(x+1)(x+\frac{1}{3})\\ f''\left(x\right)= 243x+162=243(x+\frac{2}{3})\\ f'''\left(x\right)= 243 \\ F(x)=\int_{}^{}( 40\frac{1}{2}x^3+81x^2+40\frac{1}{2}x)dx= 10\frac{1}{8}x^4+27x^3+20\frac{1}{4}x^2+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3( 40\frac{1}{2}+\dfrac{81}{x}+\dfrac{40\frac{1}{2}}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[40\frac{1}{2}\cdot \infty^3]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[40\frac{1}{2}\cdot (-\infty)^3]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=40\frac{1}{2}\cdot (-x)^{3}+81\cdot (-x)^{2}+40\frac{1}{2}\cdot (-x) \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= 40\frac{1}{2}x^3+81x^2+40\frac{1}{2}x = 0 \\ x( 40\frac{1}{2}x^2+81x+40\frac{1}{2})=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 40\frac{1}{2}x^2+81x+40\frac{1}{2}=0\\ \\ 40\frac{1}{2}x^{2}+81x+40\frac{1}{2} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-81 \pm\sqrt{81^{2}-4\cdot 40\frac{1}{2} \cdot 40\frac{1}{2}}}{2\cdot40\frac{1}{2}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-81 \pm\sqrt{0}}{81} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-81 \pm0}{81} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-81 +0}{81} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-81 -0}{81} \\ x_{1}=-1 \qquad x_{2}=-1 \\ \underline{x_1=-1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&0&< x\\ \hline f(x)&-&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]-1;0[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 121\frac{1}{2}x^2+162x+40\frac{1}{2} = 0 \\ \\ \\ 121\frac{1}{2}x^{2}+162x+40\frac{1}{2} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-162 \pm\sqrt{162^{2}-4\cdot 121\frac{1}{2} \cdot 40\frac{1}{2}}}{2\cdot121\frac{1}{2}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-162 \pm\sqrt{6,56\cdot 10^{3}}}{243} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-162 \pm81}{243} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-162 +81}{243} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-162 -81}{243} \\ x_{1}=-\frac{1}{3} \qquad x_{2}=-1 \\ \underline{x_3=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=-\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-1)=-81 \\ f''(-1)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-1/0)} \\ f''(-\frac{1}{3})=81>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-\frac{1}{3}/-6)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&-\frac{1}{3}&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]-\frac{1}{3};\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;-\frac{1}{3}[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 243x+162 = 0 \\ \\ 243 x+162 =0 \qquad /-162 \\ 243 x= -162 \qquad /:243 \\ x=\displaystyle\frac{-162}{243}\\ x=-\frac{2}{3} \\ \underline{x_5=-\frac{2}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-\frac{2}{3})=-3\\ f'''(-\frac{2}{3}) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-\frac{2}{3}/-3)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-\frac{2}{3}&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\frac{2}{3};\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-\frac{2}{3}[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-1}^{0}\left( 40\frac{1}{2}x^3+81x^2+40\frac{1}{2}x\right)dx=\left[ 10\frac{1}{8}x^4+27x^3+20\frac{1}{4}x^2\right]_{-1}^{0} \\ =\left(10\frac{1}{8}\cdot 0^{4}+27\cdot 0^{3}+20\frac{1}{4}\cdot 0^{2}\right)-\left(10\frac{1}{8}\cdot (-1)^{4}+27\cdot (-1)^{3}+20\frac{1}{4}\cdot (-1)^{2}\right) \\ =\left(0\right)-\left(3\frac{3}{8}\right)=-3\frac{3}{8} \\ \\ \end{array}$