Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion
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Beispiel Nr: 69
$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich}
\\ \text{Grenzwerte}
\\ \text{Symmetrie}
\\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse}
\\ \text{Ableitungen - Stammfunktion}
\\ \text{Extremwerte - Monotonie}
\\ \text{Wendepunkte - Krümmung}
\\ \text{Stammfunktion}
\\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)= \frac{1}{3}x^3-1x^2-1\frac{1}{3}x \ <br/>
\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= \frac{1}{3}x^3-1x^2-1\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}(x+1)x(x-4)\\
f'\left(x\right)= x^2-2x-1\frac{1}{3}=(x+0,528)(x-2,53)\\
f''\left(x\right)= 2x-2=2(x-1)\\
f'''\left(x\right)= 2
\\
F(x)=\int_{}^{}( \frac{1}{3}x^3-1x^2-1\frac{1}{3}x)dx= \frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3-\frac{2}{3}x^2+c
\\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\
\\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\
f(x)=x^3( \frac{1}{3}-\dfrac{1}{x}-\dfrac{1\frac{1}{3}}{x^2}) \\
\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{3}\cdot \infty^3]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{3}\cdot (-\infty)^3]=-\infty \\
\\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=\frac{1}{3}\cdot (-x)^{3}-1\cdot (-x)^{2}-1\frac{1}{3}\cdot (-x) \\
\text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung }
\\
\\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= \frac{1}{3}x^3-1x^2-1\frac{1}{3}x = 0 \\ x( \frac{1}{3}x^2-1x-1\frac{1}{3})=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad \frac{1}{3}x^2-1x-1\frac{1}{3}=0\\
\\
\frac{1}{3}x^{2}-1x-1\frac{1}{3} =0
\\
x_{1/2}=\displaystyle\frac{+1 \pm\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\cdot \frac{1}{3} \cdot \left(-1\frac{1}{3}\right)}}{2\cdot\frac{1}{3}}
\\
x_{1/2}=\displaystyle \frac{+1 \pm\sqrt{2\frac{7}{9}}}{\frac{2}{3}}
\\
x_{1/2}=\displaystyle \frac{1 \pm1\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}}
\\
x_{1}=\displaystyle \frac{1 +1\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{1 -1\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}}
\\
x_{1}=4 \qquad x_{2}=-1
\\ \underline{x_1=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=4; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\
\\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||}
\hline
& x < &-1&< x <&0&< x <&4&< x\\
\hline
f(x)&-&0&+&0&-&0&+\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-1;0[\quad \cup \quad]4;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]0;4[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\
\\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= x^2-2x-1\frac{1}{3} = 0 \\ \\
\\
1x^{2}-2x-1\frac{1}{3} =0
\\
x_{1/2}=\displaystyle\frac{+2 \pm\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\cdot 1 \cdot \left(-1\frac{1}{3}\right)}}{2\cdot1}
\\
x_{1/2}=\displaystyle \frac{+2 \pm\sqrt{9\frac{1}{3}}}{2}
\\
x_{1/2}=\displaystyle \frac{2 \pm3,06}{2}
\\
x_{1}=\displaystyle \frac{2 +3,06}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{2 -3,06}{2}
\\
x_{1}=2,53 \qquad x_{2}=-0,528
\\ \underline{x_4=-0,528; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=2,53; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-0,528)=-3,06 \\
f''(-0,528)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-0,528/0,376)} \\
f''(2,53)=3,06>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (2,53/-4,38)} \\
\\
\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||}
\hline
& x < &-0,528&< x <&2,53&< x\\
\hline
f'(x)&+&0&-&0&+\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;-0,528[\quad \cup \quad]2,53;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-0,528;2,53[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}
\\
\\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 2x-2 = 0 \\ \\
2 x-2 =0 \qquad /+2 \\
2 x= 2 \qquad /:2 \\
x=\displaystyle\frac{2}{2}\\
x=1
\\ \underline{x_6=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(1)=-2\\
f'''(1) \neq 0 \Rightarrow \\
\underline{\text{Wendepunkt:} (1/-2)}\\
\bullet\text{Kruemmung} \\
\begin{array}{|c|c|c|c||}
\hline
& x < &1&< x\\
\hline
f''(x)&-&0&+\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]1;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;1[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\
\\
\bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-1}^{0}\left( \frac{1}{3}x^3-1x^2-1\frac{1}{3}x\right)dx=\left[ \frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3-\frac{2}{3}x^2\right]_{-1}^{0}
\\ =\left(\frac{1}{12}\cdot 0^{4}-\frac{1}{3}\cdot 0^{3}-\frac{2}{3}\cdot 0^{2}\right)-\left(\frac{1}{12}\cdot (-1)^{4}-\frac{1}{3}\cdot (-1)^{3}-\frac{2}{3}\cdot (-1)^{2}\right)
\\ =\left(0\right)-\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}
\\ A=\int_{0}^{4}\left( \frac{1}{3}x^3-1x^2-1\frac{1}{3}x\right)dx=\left[ \frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3-\frac{2}{3}x^2\right]_{0}^{4}
\\ =\left(\frac{1}{12}\cdot 4^{4}-\frac{1}{3}\cdot 4^{3}-\frac{2}{3}\cdot 4^{2}\right)-\left(\frac{1}{12}\cdot 0^{4}-\frac{1}{3}\cdot 0^{3}-\frac{2}{3}\cdot 0^{2}\right)
\\ =\left(-10\frac{2}{3}\right)-\left(0\right)=-10\frac{2}{3}
\\ \\
\end{array}$