Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion
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Beispiel Nr: 75
$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich}
\\ \text{Grenzwerte}
\\ \text{Symmetrie}
\\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse}
\\ \text{Ableitungen - Stammfunktion}
\\ \text{Extremwerte - Monotonie}
\\ \text{Wendepunkte - Krümmung}
\\ \text{Stammfunktion}
\\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)= \frac{1}{10}x^3-3\frac{1}{5}x \ <br/>
\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= \frac{1}{10}x^3-3\frac{1}{5}x=\frac{1}{10}(x+5,66)x(x-5,66)\\
f'\left(x\right)= \frac{3}{10}x^2-3\frac{1}{5}=\frac{3}{10}(x+3,27)(x-3,27)\\
f''\left(x\right)= \frac{3}{5}x=\frac{3}{5}x\\
f'''\left(x\right)= \frac{3}{5}
\\
F(x)=\int_{}^{}( \frac{1}{10}x^3-3\frac{1}{5}x)dx= \frac{1}{40}x^4-1\frac{3}{5}x^2+c
\\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\
\\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\
f(x)=x^3( \frac{1}{10}-\dfrac{3\frac{1}{5}}{x^2}) \\
\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{10}\cdot \infty^3]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{10}\cdot (-\infty)^3]=-\infty \\
\\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=\frac{1}{10}\cdot (-x)^{3}-3\frac{1}{5}\cdot (-x) \\
f\left(-x\right)=-\left(\frac{1}{10}\cdot x^{3}-3\frac{1}{5}\cdot x\right) \\
f\left(-x\right)= -f\left(x\right) \rightarrow \text{Symmetrie zum Ursprung:}
\\
\\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= \frac{1}{10}x^3-3\frac{1}{5}x = 0 \\ x( \frac{1}{10}x^2-3\frac{1}{5})=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad \frac{1}{10}x^2-3\frac{1}{5}=0\\
\frac{1}{10}x^2-3\frac{1}{5} =0 \qquad /+3\frac{1}{5} \\
\frac{1}{10}x^2= 3\frac{1}{5} \qquad /:\frac{1}{10} \\
x^2=\displaystyle\frac{3\frac{1}{5}}{\frac{1}{10}} \\
x=\pm\sqrt{32} \\
x_1=5,66 \qquad x_2=-5,66
\\ \underline{x_1=-5,66; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=5,66; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\
\\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||}
\hline
& x < &-5,66&< x <&0&< x <&5,66&< x\\
\hline
f(x)&-&0&+&0&-&0&+\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-5,66;0[\quad \cup \quad]5,66;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;-5,66[\quad \cup \quad]0;5,66[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\
\\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= \frac{3}{10}x^2-3\frac{1}{5} = 0 \\ \\
\frac{3}{10}x^2-3\frac{1}{5} =0 \qquad /+3\frac{1}{5} \\
\frac{3}{10}x^2= 3\frac{1}{5} \qquad /:\frac{3}{10} \\
x^2=\displaystyle\frac{3\frac{1}{5}}{\frac{3}{10}} \\
x=\pm\sqrt{10\frac{2}{3}} \\
x_1=3,27 \qquad x_2=-3,27
\\ \underline{x_4=-3,27; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=3,27; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-3,27)=-1,96 \\
f''(-3,27)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-3,27/6,97)} \\
f''(3,27)=1,96>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (3,27/-6,97)} \\
\\
\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||}
\hline
& x < &-3,27&< x <&3,27&< x\\
\hline
f'(x)&+&0&-&0&+\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;-3,27[\quad \cup \quad]3,27;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-3,27;3,27[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}
\\
\\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= \frac{3}{5}x = 0 \\ x=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_6=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(0)=0\\
f'''(0) \neq 0 \Rightarrow \\
\underline{\text{Wendepunkt:} (0/0)}\\
\bullet\text{Kruemmung} \\
\begin{array}{|c|c|c|c||}
\hline
& x < &0&< x\\
\hline
f''(x)&-&0&+\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]0;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\
\\
\bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-5,66}^{0}\left( \frac{1}{10}x^3-3\frac{1}{5}x\right)dx=\left[ \frac{1}{40}x^4-1\frac{3}{5}x^2\right]_{-5,66}^{0}
\\ =\left(\frac{1}{40}\cdot 0^{4}-1\frac{3}{5}\cdot 0^{2}\right)-\left(\frac{1}{40}\cdot (-5,66)^{4}-1\frac{3}{5}\cdot (-5,66)^{2}\right)
\\ =\left(0\right)-\left(-25\frac{3}{5}\right)=25\frac{3}{5}
\\ A=\int_{0}^{5,66}\left( \frac{1}{10}x^3-3\frac{1}{5}x\right)dx=\left[ \frac{1}{40}x^4-1\frac{3}{5}x^2\right]_{0}^{5,66}
\\ =\left(\frac{1}{40}\cdot 5,66^{4}-1\frac{3}{5}\cdot 5,66^{2}\right)-\left(\frac{1}{40}\cdot 0^{4}-1\frac{3}{5}\cdot 0^{2}\right)
\\ =\left(-25\frac{3}{5}\right)-\left(0\right)=-25\frac{3}{5}
\\ \\
\end{array}$