Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion
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Beispiel Nr: 87
$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich}
\\ \text{Grenzwerte}
\\ \text{Symmetrie}
\\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse}
\\ \text{Ableitungen - Stammfunktion}
\\ \text{Extremwerte - Monotonie}
\\ \text{Wendepunkte - Krümmung}
\\ \text{Stammfunktion}
\\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)= x^4+16 \ <br/>
\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= x^4+16\\
f'\left(x\right)= 4x^3\\
f''\left(x\right)= 12x^2\\
f'''\left(x\right)= 24x
\\
F(x)=\int_{}^{}( x^4+16)dx= \frac{1}{5}x^5+16x+c
\\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [16,\infty[ \\
\\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\
f(x)=x^4( 1+\dfrac{16}{x^4}) \\
\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot \infty^4]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot (-\infty)^4]=\infty \\
\\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=1\cdot (-x)^{4}+16 \\
f\left(-x\right)=1\cdot x^{4}+16 \\
f\left(-x\right)= f\left(x\right) \rightarrow \text{Symmetrie zur y-Achse:}
\\
\\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= x^4+16 = 0 \\ \\
1x^4+16 =0 \qquad /-16 \\
1x^4= -16 \qquad /:1 \\
x^4=\displaystyle\frac{-16}{1} \\
x=\sqrt[4]{-16} \\
\text{keine Lösung}
\\ \text{keine Loesung} \\
\\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \\
\\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 4x^3 = 0 \\ x^3=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_1=0; \quad3\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=16 \\
f''(0)=0 \Rightarrow \\
\underline{\text{Extremwert:} (0/16}) \\
\\
\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\
\begin{array}{|c|c|c|c||}
\hline
& x < &0&< x\\
\hline
f'(x)&-&0&+\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]0;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}
\\
\\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 12x^2 = 0 \\ x^2=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_2=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\bullet\text{Kruemmung} \\
\begin{array}{|c|c|c|c||}
\hline
& x < &0&< x\\
\hline
f''(x)&+&0&+\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\
\\
\bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\\\
\end{array}$