$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)= \frac{1}{2}x^4+2x \ <br/> \bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= \frac{1}{2}x^4+2x=\frac{1}{2}(x^2-1,59x+2,52)(x+1,59)x\\ f'\left(x\right)= 2x^3+2=2(x^2-1x+1)(x+1)\\ f''\left(x\right)= 6x^2=6x^2\\ f'''\left(x\right)= 12x \\ F(x)=\int_{}^{}( \frac{1}{2}x^4+2x)dx= \frac{1}{10}x^5+x^2+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-1\frac{1}{2}),\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^4( \frac{1}{2}+\dfrac{2}{x^3}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{2}\cdot \infty^4]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{2}\cdot (-\infty)^4]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=\frac{1}{2}\cdot (-x)^{4}+2\cdot (-x) \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= \frac{1}{2}x^4+2x = 0 \\ x( \frac{1}{2}x^3+2)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad \frac{1}{2}x^3+2=0\\ \frac{1}{2}x^3+2=0 \\ \frac{1}{2}x^3+2 =0 \qquad /-2 \\ \frac{1}{2}x^3= -2 \qquad /:\frac{1}{2} \\ x^3=\displaystyle\frac{-2}{\frac{1}{2}} \\ x=\sqrt[3]{-4} \\ x=-1,59 \\ \text{Polynomdivision:}(-1,59)\\ \small \begin{matrix} ( \frac{1}{2}x^3&&&+2&):( x +1,59 )= \frac{1}{2}x^2 -0,794x +1,26 \\ \,-( \frac{1}{2}x^3&+0,794x^2) \\ \hline &-0,794x^2&&+2&\\ &-(-0,794x^2&-1,26x) \\ \hline && 1,26x&+2&\\ &&-( 1,26x&+2) \\ \hline &&& 4,44\cdot 10^{-16}&\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \frac{1}{2}x^{2}-0,794x+1,26 =0\\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+0,794 \pm\sqrt{\left(-0,794\right)^{2}-4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1,26}}{2\cdot\frac{1}{2}}\\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+0,794 \pm\sqrt{-1,89}}{1}\\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \\ \underline{x_1=-1,59; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1,59&< x <&0&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1,59[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1,59;0[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 2x^3+2 = 0 \\ \\ 2x^3+2=0 \\ 2x^3+2 =0 \qquad /-2 \\ 2x^3= -2 \qquad /:2 \\ x^3=\displaystyle\frac{-2}{2} \\ x=\sqrt[3]{-1} \\ x=-1 \\ \text{Polynomdivision:}(-1)\\ \small \begin{matrix} ( 2x^3&&&+2&):( x +1 )= 2x^2 -2x +2 \\ \,-( 2x^3&+2x^2) \\ \hline &-2x^2&&+2&\\ &-(-2x^2&-2x) \\ \hline && 2x&+2&\\ &&-( 2x&+2) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ 2x^{2}-2x+2 =0\\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+2 \pm\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4 \cdot 2 \cdot 2}}{2\cdot2}\\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+2 \pm\sqrt{-12}}{4}\\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \\ \underline{x_3=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-1)=6>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-1/-1\frac{1}{2})} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 6x^2 = 0 \\ x^2=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_4=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x\\ \hline f''(x)&+&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-1,59}^{0}\left( \frac{1}{2}x^4+2x\right)dx=\left[ \frac{1}{10}x^5+x^2\right]_{-1,59}^{0} \\ =\left(\frac{1}{10}\cdot 0^{5}+1\cdot 0^{2}\right)-\left(\frac{1}{10}\cdot (-1,59)^{5}+1\cdot (-1,59)^{2}\right) \\ =\left(0\right)-\left(1\frac{43}{84}\right)=-1\frac{43}{84} \\ \\ \end{array}$