Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion
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Beispiel Nr: 03
$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich}
\\ \text{Grenzwerte}
\\ \text{Symmetrie}
\\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse}
\\ \text{Ableitungen - Stammfunktion}
\\ \text{Extremwerte - Monotonie}
\\ \text{Wendepunkte - Krümmung}
\\ \text{Stammfunktion}
\\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)=-2x^5 \ <br/>
\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-2x^5\\
f'\left(x\right)=-10x^4\\
f''\left(x\right)=-40x^3\\
f'''\left(x\right)=-120x^2
\\
F(x)=\int_{}^{}(-2x^5)dx=-\frac{1}{3}x^6+c
\\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\
\\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\
f(x)=x^5(-2) \\
\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-2\cdot \infty^5]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-2\cdot (-\infty)^5]=\infty \\
\\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-2\cdot (-x)^{5} \\
f\left(-x\right)=-\left(-2\cdot x^{5}\right) \\
f\left(-x\right)= -f\left(x\right) \rightarrow \text{Symmetrie zum Ursprung:}
\\
\\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-2x^5 = 0 \\ x^5=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_1=0; \quad5\text{-fache Nullstelle}} \\
\\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\
\begin{array}{|c|c|c|c||}
\hline
& x < &0&< x\\
\hline
f(x)&+&0&-\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\
\underline{\quad x \in ]0;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\
\\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-10x^4 = 0 \\ x^4=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_2=0; \quad4\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=0 \\
f''(0)=0 \Rightarrow \\
\underline{\text{Terrassenpukt:} (0/0)} \\
\\
\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\
\begin{array}{|c|c|c|c||}
\hline
& x < &0&< x\\
\hline
f'(x)&-&0&-\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}
\\
\\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)=-40x^3 = 0 \\ x^3=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_3=0; \quad3\text{-fache Nullstelle}} \\\bullet\text{Kruemmung} \\
\begin{array}{|c|c|c|c||}
\hline
& x < &0&< x\\
\hline
f''(x)&+&0&-\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\
\underline{\quad x \in ]0;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\
\\
\bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\\text{keine Fläche}
\\ \\
\end{array}$