Analysis-Kurvendiskussion-Ganzrationale Funktion
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Beispiel Nr: 04
$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich}
\\ \text{Grenzwerte}
\\ \text{Symmetrie}
\\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse}
\\ \text{Ableitungen - Stammfunktion}
\\ \text{Extremwerte - Monotonie}
\\ \text{Wendepunkte - Krümmung}
\\ \text{Stammfunktion}
\\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)= \frac{1}{72}x^5-\frac{1}{36}x^4-\frac{31}{72}x^3+\frac{1}{9}x^2+2\frac{1}{2}x+2 \ <br/>
\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= \frac{1}{72}x^5-\frac{1}{36}x^4-\frac{31}{72}x^3+\frac{1}{9}x^2+2\frac{1}{2}x+2=\frac{1}{72}(x+4)(x+2)(x+1)(x-3)(x-6)\\
f'\left(x\right)= \frac{5}{72}x^4-\frac{1}{9}x^3-1\frac{7}{24}x^2+\frac{2}{9}x+2\frac{1}{2}=\frac{5}{72}(x+3,31)(x+1,49)(x-1\frac{59}{125})(x-4,94)\\
f''\left(x\right)= \frac{5}{18}x^3-\frac{1}{3}x^2-2\frac{7}{12}x+\frac{2}{9}=\frac{5}{18}(x+2,56)(x-0,0852)(x-3,67)\\
f'''\left(x\right)= \frac{5}{6}x^2-\frac{2}{3}x-2\frac{7}{12}
\\
F(x)=\int_{}^{}( \frac{1}{72}x^5-\frac{1}{36}x^4-\frac{31}{72}x^3+\frac{1}{9}x^2+2\frac{1}{2}x+2)dx= 0,00231x^6-0,00556x^5-0,108x^4+\frac{1}{27}x^3+1\frac{1}{4}x^2+2x+c
\\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\
\\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\
f(x)=x^5( \frac{1}{72}-\dfrac{\frac{1}{36}}{x}-\dfrac{\frac{31}{72}}{x^2}+\dfrac{\frac{1}{9}}{x^3}+\dfrac{2\frac{1}{2}}{x^4}+\dfrac{2}{x^5}) \\
\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{72}\cdot \infty^5]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{72}\cdot (-\infty)^5]=-\infty \\
\\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=\frac{1}{72}\cdot (-x)^{5}-\frac{1}{36}\cdot (-x)^{4}-\frac{31}{72}\cdot (-x)^{3}+\frac{1}{9}\cdot (-x)^{2}+2\frac{1}{2}\cdot (-x)+2 \\
\text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung }
\\
\\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= \frac{1}{72}x^5-\frac{1}{36}x^4-\frac{31}{72}x^3+\frac{1}{9}x^2+2\frac{1}{2}x+2 = 0 \\ \\\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_1=-4; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=6; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\
\\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||}
\hline
& x < &-4&< x <&-2&< x <&-1&< x <&3&< x <&6&< x\\
\hline
f(x)&-&0&+&0&-&0&+&0&-&0&+\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-4;-2[\quad \cup \quad]-1;3[\quad \cup \quad]6;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;-4[\quad \cup \quad]-2;-1[\quad \cup \quad]3;6[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\
\\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= \frac{5}{72}x^4-\frac{1}{9}x^3-1\frac{7}{24}x^2+\frac{2}{9}x+2\frac{1}{2} = 0 \\ \\ \frac{5}{72}x^4-\frac{1}{9}x^3-1\frac{7}{24}x^2+\frac{2}{9}x+2\frac{1}{2}\\ Numerische Suche: \\ \\ \underline{x_6=-3,31; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_7=-1,49; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_8=1\frac{59}{125}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_9=4,94; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-3,31)=-4,99 \\
f''(-3,31)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-3,31/1,7)} \\
f''(-1,49)=2,41>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-1,49/-0,293)} \\
f''(1\frac{59}{125})=-3,42 \\
f''(1\frac{59}{125})<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (1\frac{59}{125}/4,51)} \\
f''(4,94)=12,8>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (4,94/-10,5)} \\
\\
\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||}
\hline
& x < &-3,31&< x <&-1,49&< x <&1\frac{59}{125}&< x <&4,94&< x\\
\hline
f'(x)&+&0&-&0&+&0&-&0&+\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;-3,31[\quad \cup \quad]-1,49;1\frac{59}{125}[\quad \cup \quad]4,94;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-3,31;-1,49[\quad \cup \quad]1\frac{59}{125};4,94[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}
\\
\\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= \frac{5}{18}x^3-\frac{1}{3}x^2-2\frac{7}{12}x+\frac{2}{9} = 0 \\ \\ \frac{5}{18}x^3-\frac{1}{3}x^2-2\frac{7}{12}x+\frac{2}{9}=0 \\\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_10=-2,56; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_11=0,0852; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_12=3,67; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-2,56)=0,828\\
f'''(-2,56) \neq 0 \Rightarrow \\
\underline{\text{Wendepunkt:} (-2,56/0,828)}\\
f'''(0,0852)=2,21\\
f'''(0,0852) \neq 0 \Rightarrow \\
\underline{\text{Wendepunkt:} (0,0852/2,21)}\\
f'''(3,67)=-4,42\\
f'''(3,67) \neq 0 \Rightarrow \\
\underline{\text{Wendepunkt:} (3,67/-4,42)}\\
\bullet\text{Kruemmung} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||}
\hline
& x < &-2,56&< x <&0,0852&< x <&3,67&< x\\
\hline
f''(x)&-&0&+&0&-&0&+\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-2,56;0,0852[\quad \cup \quad]3,67;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;-2,56[\quad \cup \quad]0,0852;3,67[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\
\\
\bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-4}^{-2}\left( \frac{1}{72}x^5-\frac{1}{36}x^4-\frac{31}{72}x^3+\frac{1}{9}x^2+2\frac{1}{2}x+2\right)dx=\left[ 0,00231x^6-0,00556x^5-0,108x^4+\frac{1}{27}x^3+1\frac{1}{4}x^2+2x\right]_{-4}^{-2}
\\ =\left(0,00231\cdot (-2)^{6}-0,00556\cdot (-2)^{5}-0,108\cdot (-2)^{4}+\frac{1}{27}\cdot (-2)^{3}+1\frac{1}{4}\cdot (-2)^{2}+2\cdot (-2)\right)-\left(0,00231\cdot (-4)^{6}-0,00556\cdot (-4)^{5}-0,108\cdot (-4)^{4}+\frac{1}{27}\cdot (-4)^{3}+1\frac{1}{4}\cdot (-4)^{2}+2\cdot (-4)\right)
\\ =\left(-0,693\right)-\left(-2\frac{34}{45}\right)=2,06
\\ A=\int_{-2}^{-1}\left( \frac{1}{72}x^5-\frac{1}{36}x^4-\frac{31}{72}x^3+\frac{1}{9}x^2+2\frac{1}{2}x+2\right)dx=\left[ 0,00231x^6-0,00556x^5-0,108x^4+\frac{1}{27}x^3+1\frac{1}{4}x^2+2x\right]_{-2}^{-1}
\\ =\left(0,00231\cdot (-1)^{6}-0,00556\cdot (-1)^{5}-0,108\cdot (-1)^{4}+\frac{1}{27}\cdot (-1)^{3}+1\frac{1}{4}\cdot (-1)^{2}+2\cdot (-1)\right)-\left(0,00231\cdot (-2)^{6}-0,00556\cdot (-2)^{5}-0,108\cdot (-2)^{4}+\frac{1}{27}\cdot (-2)^{3}+1\frac{1}{4}\cdot (-2)^{2}+2\cdot (-2)\right)
\\ =\left(-0,887\right)-\left(-0,693\right)=-0,194
\\ A=\int_{-1}^{3}\left( \frac{1}{72}x^5-\frac{1}{36}x^4-\frac{31}{72}x^3+\frac{1}{9}x^2+2\frac{1}{2}x+2\right)dx=\left[ 0,00231x^6-0,00556x^5-0,108x^4+\frac{1}{27}x^3+1\frac{1}{4}x^2+2x\right]_{-1}^{3}
\\ =\left(0,00231\cdot 3^{6}-0,00556\cdot 3^{5}-0,108\cdot 3^{4}+\frac{1}{27}\cdot 3^{3}+1\frac{1}{4}\cdot 3^{2}+2\cdot 3\right)-\left(0,00231\cdot (-1)^{6}-0,00556\cdot (-1)^{5}-0,108\cdot (-1)^{4}+\frac{1}{27}\cdot (-1)^{3}+1\frac{1}{4}\cdot (-1)^{2}+2\cdot (-1)\right)
\\ =\left(9,87\right)-\left(-0,887\right)=10\frac{34}{45}
\\ A=\int_{3}^{6}\left( \frac{1}{72}x^5-\frac{1}{36}x^4-\frac{31}{72}x^3+\frac{1}{9}x^2+2\frac{1}{2}x+2\right)dx=\left[ 0,00231x^6-0,00556x^5-0,108x^4+\frac{1}{27}x^3+1\frac{1}{4}x^2+2x\right]_{3}^{6}
\\ =\left(0,00231\cdot 6^{6}-0,00556\cdot 6^{5}-0,108\cdot 6^{4}+\frac{1}{27}\cdot 6^{3}+1\frac{1}{4}\cdot 6^{2}+2\cdot 6\right)-\left(0,00231\cdot 3^{6}-0,00556\cdot 3^{5}-0,108\cdot 3^{4}+\frac{1}{27}\cdot 3^{3}+1\frac{1}{4}\cdot 3^{2}+2\cdot 3\right)
\\ =\left(-9\frac{7}{10}\right)-\left(9,87\right)=-19,6
\\ \\
\end{array}$