$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)= \frac{1}{2}x^5+2x^2 \ <br/> \bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= \frac{1}{2}x^5+2x^2=\frac{1}{2}(x^2-1,59x+2,52)(x+1,59)x^2\\ f'\left(x\right)= 2\frac{1}{2}x^4+4x=2\frac{1}{2}(x^2-1,17x+1,37)(x+1,17)x\\ f''\left(x\right)= 10x^3+4=10(x^2-0,737x+0,543)(x+0,737)\\ f'''\left(x\right)= 30x^2 \\ F(x)=\int_{}^{}( \frac{1}{2}x^5+2x^2)dx= \frac{1}{12}x^6+\frac{2}{3}x^3+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^5( \frac{1}{2}+\dfrac{2}{x^3}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{2}\cdot \infty^5]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{2}\cdot (-\infty)^5]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=\frac{1}{2}\cdot (-x)^{5}+2\cdot (-x)^{2} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= \frac{1}{2}x^5+2x^2 = 0 \\ x^2( \frac{1}{2}x^3+2)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad \frac{1}{2}x^3+2=0\\ \frac{1}{2}x^3+2=0 \\ \frac{1}{2}x^3+2 =0 \qquad /-2 \\ \frac{1}{2}x^3= -2 \qquad /:\frac{1}{2} \\ x^3=\displaystyle\frac{-2}{\frac{1}{2}} \\ x=\sqrt[3]{-4} \\ x=-1,59 \\ \text{Polynomdivision:}(-1,59)\\ \small \begin{matrix} ( \frac{1}{2}x^3&&&+2&):( x +1,59 )= \frac{1}{2}x^2 -0,794x +1,26 \\ \,-( \frac{1}{2}x^3&+0,794x^2) \\ \hline &-0,794x^2&&+2&\\ &-(-0,794x^2&-1,26x) \\ \hline && 1,26x&+2&\\ &&-( 1,26x&+2) \\ \hline &&& 4,44\cdot 10^{-16}&\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \frac{1}{2}x^{2}-0,794x+1,26 =0\\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+0,794 \pm\sqrt{\left(-0,794\right)^{2}-4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1,26}}{2\cdot\frac{1}{2}}\\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+0,794 \pm\sqrt{-1,89}}{1}\\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \\ \underline{x_1=-1,59; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1,59&< x <&0&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1,59;0[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1,59[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 2\frac{1}{2}x^4+4x = 0 \\ x( 2\frac{1}{2}x^3+4)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 2\frac{1}{2}x^3+4=0\\ 2\frac{1}{2}x^3+4=0 \\ 2\frac{1}{2}x^3+4 =0 \qquad /-4 \\ 2\frac{1}{2}x^3= -4 \qquad /:2\frac{1}{2} \\ x^3=\displaystyle\frac{-4}{2\frac{1}{2}} \\ x=\sqrt[3]{-1\frac{3}{5}} \\ x=-1,17 \\ \text{Polynomdivision:}(-1,17)\\ \small \begin{matrix} ( 2\frac{1}{2}x^3&&&+4&):( x +1,17 )= 2\frac{1}{2}x^2 -2,92x +3,42 \\ \,-( 2\frac{1}{2}x^3&+2,92x^2) \\ \hline &-2,92x^2&&+4&\\ &-(-2,92x^2&-3,42x) \\ \hline && 3,42x&+4&\\ &&-( 3,42x&+4) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ 2\frac{1}{2}x^{2}-2,92x+3,42 =0\\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+2,92 \pm\sqrt{\left(-2,92\right)^{2}-4 \cdot 2\frac{1}{2} \cdot 3,42}}{2\cdot2\frac{1}{2}}\\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+2,92 \pm\sqrt{-25,6}}{5}\\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \\ \underline{x_3=-1,17; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-1,17)=-12 \\ f''(-1,17)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-1,17/1,64)} \\ f''(0)=4>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (0/0)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1,17&< x <&0&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1,17[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1,17;0[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 10x^3+4 = 0 \\ \\ 10x^3+4=0 \\ 10x^3+4 =0 \qquad /-4 \\ 10x^3= -4 \qquad /:10 \\ x^3=\displaystyle\frac{-4}{10} \\ x=\sqrt[3]{-\frac{2}{5}} \\ x=-0,737 \\ \text{Polynomdivision:}(-0,737)\\ \small \begin{matrix} ( 10x^3&&&+4&):( x +0,737 )= 10x^2 -7,37x +5,43 \\ \,-( 10x^3&+7,37x^2) \\ \hline &-7,37x^2&&+4&\\ &-(-7,37x^2&-5,43x) \\ \hline && 5,43x&+4&\\ &&-( 5,43x&+4) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ 10x^{2}-7,37x+5,43 =0\\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+7,37 \pm\sqrt{\left(-7,37\right)^{2}-4 \cdot 10 \cdot 5,43}}{2\cdot10}\\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+7,37 \pm\sqrt{-163}}{20}\\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \\ \underline{x_5=-0,737; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-0,737)=0,977\\ f'''(-0,737) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-0,737/0,977)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-0,737&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-0,737;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-0,737[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-1,59}^{0}\left( \frac{1}{2}x^5+2x^2\right)dx=\left[ \frac{1}{12}x^6+\frac{2}{3}x^3\right]_{-1,59}^{0} \\ =\left(\frac{1}{12}\cdot 0^{6}+\frac{2}{3}\cdot 0^{3}\right)-\left(\frac{1}{12}\cdot (-1,59)^{6}+\frac{2}{3}\cdot (-1,59)^{3}\right) \\ =\left(0\right)-\left(-1\frac{1}{3}\right)=1\frac{1}{3} \\ \\ \end{array}$